Kužel je trojrozměrný geometrický tvar ohraničený kuželovou plochou a rovinou, která protíná kuželovou plochu tak, že vytváří uzavřenou křivku.

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava kužele. Plášť kužele a podstava tvoří povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi rovinou podstavy a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Jestliže kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, jde o rotační kužel nebo také kolmý kruhový kužel, v opačném případě jde o kosý kužel.

Základní pojmy

Kuželový prostor a kuželová plocha

Definice: Je dána jednoduchá uzavřená křivka ${\displaystyle k}$, která leží v rovině ${\displaystyle \rho }$ a bod V, který v dané rovině ${\displaystyle \rho }$ neleží. Množina všech přímek, které procházejí daným bodem V a křivkou ${\displaystyle k}$ tvoří kuželovou plochu, která ohraničuje kuželový prostor. Kuželový prostor zahrnuje kromě kuželové plochy i všechny přímky, které protínají rovinu ${\displaystyle \rho }$ uvnitř křivky ${\displaystyle k}$.

Křivka ${\displaystyle k}$ se nazývá řídicí křivkou kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Bod V se nazývá vrchol kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Přímky spojující řídicí křivku s vrcholem se nazývají povrchové přímky (površky).

Přímky kuželového prostoru, které nejsou povrchovými přímkami se nazývají vnitřní přímky kuželového prostoru a body na nich se nazývají vnitřní body kuželového prostoru, vrchol V nepatří mezi vnitřní body kuželového prostoru. ^[1][2]

Kruhový kužel

Je-li řídicí křivka kružnice, pak kruh omezený touto kružnicí ${\displaystyle k}$ je podstavou kruhového kužele. Kruhový kužel je těleso tvořené částí kuželového prostoru mezi rovinou ${\displaystyle \rho }$ a bodem V. Rovina ${\displaystyle \rho }$ je rovina podstavy kužele. Kružnice ${\displaystyle k}$ tvoří podstavnou hranu a bod V je vrchol kužele.^[3]

Rotační kuželová plocha

Rotací přímky ${\displaystyle p}$, kolem přímky ${\displaystyle o}$, pro kterou platí ${\displaystyle \longleftrightarrow p\nparallel \longleftrightarrow o}$ vznikne rotační kuželová plocha.

Přímka ${\displaystyle o}$ je osa kuželové plochy. Každé přímce ${\displaystyle p}$, ležící na kuželové ploše se říká povrchová přímka (površka) kuželové plochy.

Jiná formulace: Rotační kuželová plocha je množina všech přímek ${\displaystyle p}$ prostoru, které procházejí průsečíkem přímek ${\displaystyle p}$ a dané přímky ${\displaystyle o}$, přičemž odchylka ${\displaystyle \varphi }$ těchto přímek a přímky ${\displaystyle o}$ je pro všechny přímky ${\displaystyle p}$ stejná ${\displaystyle (0^{\circ }<\varphi <90^{\circ })}$.^[4]

Přímka a rovina, procházející vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová přímka a vrcholová rovina. Každé povrchové přímky kuželové plochy se dotýká právě jedna tečná rovina.

Rotační kužel

Rotační kužel je těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky ${\displaystyle o}$, na které leží jedna jeho odvěsna nebo rotací rovnoramenného trojúhelníku kolem jeho výšky na základnu.

• Přímka ${\displaystyle o}$ je osa kužele,
• bod přepony, který leží na ose se nazývá vrchol kužele,
• podstavu kužele tvoří kruh, který je vytvořen rotací odvěsny kolmé k ose ${\displaystyle o}$ ,
• poloměr (průměr) rotačního kužele je poloměr (průměr) podstavy,
• výška rotačního kužele je (kolmá) vzdálenost vrcholu kužele od roviny podstavy, je rovna délce odvěsny, která leží na ose ${\displaystyle o}$.

Výpočty

Značení kužele

${\displaystyle r}$	poloměr podstavy
${\displaystyle h}$	výška kužele (také někdy ${\displaystyle v}$)
${\displaystyle s}$	délka strany (površky) kužele
${\displaystyle S_{p}}$	obsah podstavy kužele
${\displaystyle S_{pl}}$	obsah pláště kužele
${\displaystyle S}$	povrch rotačního kužele
${\displaystyle V}$	objem rotačního kužele

Objem rotačního kužele

Odvození výpočtu: podstava rotačního kužele je kruh se středem ${\displaystyle S}$ a poloměrem ${\displaystyle r}$. Výška rotačního kužele ${\displaystyle v}$ je kolmá na rovinu podstavy a platí ${\displaystyle v=|SV|}$.

V kartézské soustavě souřadnic (${\displaystyle 0,x,y}$) lze určit rovnici přímky ${\displaystyle p}$,na které leží površka ${\displaystyle s}$ a jejíž rotací kolem osy ${\displaystyle x}$ vznikl rotační kužel. Přímka ${\displaystyle p}$ prochází počátkem ${\displaystyle 0,0}$. Její rovnici lze tedy zapsat ve tvaru ${\displaystyle y=k.x}$ , kde ${\displaystyle k}$ je směrnice přímky, pro kterou platí ${\displaystyle k=tg\ \alpha }$. Přímka ${\displaystyle p}$ prochází bodem ${\displaystyle }$${\displaystyle v,r}$, tedy platí ${\displaystyle k={\tfrac {r}{v}}}$.

Rovnici přímky lze tedy zapsat ${\displaystyle y={\frac {r}{v}}.x}$

Je třeba vzít v úvahu, že kolem osy ${\displaystyle x}$ rotuje pouze část přímky ${\displaystyle p}$, tj. úsečka, jejímž kolmým průmětem do osy ${\displaystyle x}$ je interval ${\displaystyle \langle 0,v\rangle }$. Potom lze spočítat objem rotačního kužele:^[5]

${\displaystyle V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^v\frac{r^2}{v^2}.x^{2}dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\frac{r^2}{{}^{}}}_{}^{}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Kužel
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.