Izolovaný ordinál je ordinálne číslo, ktoré má predchodcu alebo je rovný prázdnej množine. Formálnejšie:
Ordinálne číslo ${\displaystyle \alpha \,\!}$ je izolované, ak

${\displaystyle \alpha =0\vee (\exists \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}=\alpha )}$

On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady

Každý konečný ordinál (tzn. každé prirodzené číslo) je izolovaný. Stačí si uvedomiť, že

• ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}\,\!}$
• ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}\,\!}$
• ${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}\,\!}$
• ${\displaystyle \ldots \,\!}$

Existujú ale i nekonečné izolované ordinály, napríklad ak označím ako ${\displaystyle \omega \,\!}$ množinu prirodzených čísel, ktorá je takisto ordinál, potom

${\displaystyle \omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\omega \cup \{\omega \}\,\!}$ má predchodcu ${\displaystyle \omega \,\!}$

Podobne má ${\displaystyle \omega +2\,\!}$ predchodce ${\displaystyle \omega +1\,\!}$, takže opäť ide o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existujú i ordinály, ktoré nie sú izolované. Takým ordinálom hovoríme limitný. Najmenším takým ordinálom je práve ${\displaystyle \omega \,\!}$, ale existujú i väčšie limitné ordinály – napríklad ${\displaystyle \omega .2\,\!}$, ${\displaystyle \omega ^{2}\,\!}$ alebo ${\displaystyle (\omega ^{\omega })^{\omega }\,\!}$.

Použitie

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcíe a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevedený zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Pozri aj

Matematický portál

• Limitný ordinál
• Ordinálne číslo
• Ordinálna aritmetika
• Transfinitná indukcia
• Transfinitná rekurzia