Gama funkcia

Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, ${\displaystyle \Gamma }$-funkcia, Eulerov integrál druhého druhu) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel.

Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:

${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\ldots \times 3\times 2\times 1}$

Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z!\,}$

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie ${\displaystyle ln(\Gamma )}$: hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

Definícia

Funkciu definovanú pre ${\displaystyle x>0}$ nasledovným predpisom:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Gamma (x)=\operatorname {\int } \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\end{array}}}$

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti ${\displaystyle {\text{Re}}z>0}$. Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem ${\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}}$, kde má póly.

Dôležité vzťahy

Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:

• ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$
• ${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {\pi x}}}\;{\mbox{ pre }}0<x<1}$
• ${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2x-1}}}\Gamma (2x)}$

Špeciálne pre prirodzené čísla ${\displaystyle n}$ budeme mať:

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}$

• Pre prirodzené čísla ${\displaystyle n}$ platí nasledovné: ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

• ${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

• ${\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{x}}{x\;(x+1)\cdots (x+n)}}\,\!}$

Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla ${\displaystyle x}$, ktoré nie sú reálne záponé alebo nula.

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\,\!}$

kde ${\displaystyle \gamma }$ je Eulerova-Mascheroniova konštanta^[1] .

Niektoré hodnoty

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

${\displaystyle \Gamma (-2)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (-1)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (0)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (1)\,}$	${\displaystyle =}$Zdroj: Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia. Zdroj: Wikipedia.org - čítajte viac o Gama funkcia Navigácia: Veda > Analytika Antropológia Aplikované vedy Bibliometria Dejiny vedy Encyklopédie Filozofia vedy Forenzné vedy Humanitné vedy Knižničná veda Kryogenika Kryptológia Kulturológia Literárna veda Medzidisciplinárne oblasti Metódy kvantitatívnej analýzy Metavedy Metodika Metodológia vedy Náboženstvo a veda Náučná literatúra Podvody vo vede Popularizácia vedy Potravinárstvo Prírodné vedy Pseudoveda Scientometria Spoločenské vedy Teórie Teatrológia Technické vedy Technika Terminológia Umenie Výskum Veda Veda a technika podľa štátu Veda a technika podľa kontinentu Veda a technika podľa roka Veda v kozme Vedci Vedecká literatúra Vedecké databázy Vedecké experimenty Vedecké konferencie Vedecké metódy Vedecké ocenenia Vedecké organizácie Vedecké parky Vedeckí spisovatelia Vzdelávanie Záhady Príbuzné výrazy: Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia. www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk