Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx\,;\quad n\in \mathbb {N} ,x\in (-1;+\infty )}$

Dôkaz

Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo ${\displaystyle n=1}$. Dostaneme ${\displaystyle 1+x=1+x}$ čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť

${\displaystyle (\,{\text{i}}\,)\qquad (1+x)^{k}\geq 1+kx}$

po splnení už uvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť

${\displaystyle (\,{\text{ii}}\,)\qquad (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x}$

Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar

${\displaystyle (1+x)^{k}\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}}$

Teraz je potrebné dokázať, že platí

${\displaystyle 1+kx\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}}$

Po úprave dospejeme na tvar ${\displaystyle kx^{2}\geq 0}$ odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch

Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti

${\displaystyle \left\{\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.^[1]

Referencie

1. ↑ KLUVÁNEK, I.. Prípravný kurz k diferencialnému a integrálnemu počtu. Ružomberok: Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2006, . ISBN 80-8084-069-5.