Práci s vektorovými prostory i samotnými vektory lze velmi ulehčit zavedením pojmu báze vektorového prostoru (krátce jen báze, angl. basis, pl. bases). Jedná se o množinu jistým způsobem výjimečných vektorů z daného vektorového prostoru, pomocí níž jsme schopni vyjádřit libovolný vektor tohoto prostoru. Pojem báze úzce souvisí s pojmem dimenze vektorového prostoru. Zatímco dimenze nám říká, kolik parametrů potřebujeme na popsání libovolného vektoru v daném prostoru, báze je množina vektorů, ze kterých jsme schopni tento vektor sestrojit, známe-li tyto parametry.

Motivace

Nejsnáze je pojem báze vektorového prostoru nahlédnutelný v případě prostoru šipek, fyzikálních vektorů. Pro jednoduchost uvažujme množinu všech šipek v rovině. Tato množina se dá vyjádřit jako vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$, kde součtu dvou vektorů odpovídá složení dvou šipek, více viz oddíl Fyzikální vektory v článku Vektorový prostor či oddíl Geometrická interpretace v článku Lineární kombinace.

Mějme pro začátek jednu (nenulovou) šipku v rovině, kterou si označme jako ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}$. Aniž bychom cokoli věděli o vektorových prostorech, můžeme se na celou věc dívat čistě geometricky a v rovině zakreslit dvě přímky, které jsou na sebe kolmé a které procházejí bodem, z něhož vychází naše šipka ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}$. Těmto dvěma přímkám budeme říkat osy, jejich průniku počátek a celému celku dvou přímek pak souřadnicová soustava. Pro přehlednost si přitom jednu z os označme písmenem x a druhou písmenem y. Souřadnicová soustava nám umožňuje zavést jednoduchý způsob, jak naši šipku popsat pomocí dvou čísel. Konkrétně, nejprve si vykresleme kolmici na osu x tak, aby protínala konec šipky. Vzdálenost paty této kolmice od počátku soustavy souřadnic pak chápeme jako x-ovou souřadnici šipky, viz Obr. 1. Stejně postupujeme i pro osu y. Obdrželi jsme tak pro naši šipku dvojici čísel, kterým říkáme souřadnice šipky (v dané souřadnicové soustavě). Když si teď do roviny přikreslíme libovolnou další šipku, tak jsme jí stejným způsobem schopni popsat pomocí dvou čísel.

Tento způsob popisu šipek pomocí dvojic čísel je velmi názorný a jednoduchý. Rádi bychom ho proto přesunuli i do oblasti obecných vektorových prostorů. Zde ale nevíme, co znamená vzdálenost paty kolmice od počátku souřadnic, protože na vektorovém prostoru není nic jako vzdálenost definováno. (Nehledě na to, že tam není definována ani přímka, ani průsečík, ani pata kolmice.) Abychom uspěli, tak musíme naši představu souřadnicových os vystavět s pomocí pojmů, které jsou nám v obecném vektorovém prostoru k dispozici. Vraťme se k našemu příkladu šipek v rovině. Dosud jsme zde měli zavedeny dvě souřadnicové osy a každý vektor jsme popsali pomocí dvou souřadnic, viz Obr. 1. Víme navíc, že složením dvou šipek dostaneme jejich výslednici, kteroužto přitom můžeme chápat jako jejich součet. (Souřadnice výslednice totiž obdržíme tak, že sečteme souřadnice původních dvou šipek, více viz oddíl Fyzikální vektory v článku Vektorový prostor.) Vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}$ z příkladu výše tedy můžeme chápat i jako součet dvou jistých vektorů, ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{x}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{y}}$. Vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{x}}$ přitom leží na ose x a podobně vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}_{y}}$ leží na ose y, viz Obr. 2. Platí tedy rovnost

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{x}+{\vec {a}}_{y}.}$

Pokud nyní vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}$ dvakrát prodloužíme, obdržíme vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}=2{\vec {a}}}$, jenž lze vyjádřit jako součet vektorů ${\displaystyle {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}}_x}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Báze_(algebra)
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.