Kompaktná množina alebo kompakt je taká množina bodov topologického priestoru, že z každého jej pokrytia otvorenými množinami sa dá vybrať pokrytie konečné.

V Euklidovských priestoroch sú kompaktné množiny práve ohraničená a uzavreté podmnožiny Euklidovského priestoru. Napríklad v R je uzavretý jednotkový interval kompaktný, ale množina celých čísel Z nie (nie je ohraničená), ani polootvorený interval upraviť | upraviť zdroj

Kompaktnosť podmnožín Rⁿupraviť | upraviť zdroj

Pre každú podmnožinu A Euklidovského priestoru Rⁿ sú nasledujúce podmienky ekvivalentné:

• Každé otvorené pokrytie A má konečné podpokrytie.
• Z každej postupnosti v A možno vybrať konvergentnú podpostupnosť, ktorej limita leží v A.
• Každá nekonečná podmnožina A má hromadný bod v A.
• Množina A je uzavretá a ohraničená.

V iných priestoroch nemusia byť tieto podmienky ekvivalentné.

Kompaktnosť topologického priestoruupraviť | upraviť zdroj

Vlastnosť "konečného podpokrytia" je abstraktnejšia ako "uzavretosť a ohraničenosť", ale má tú výhodu, že k jej použitiu stačí znalosť topológie danej množiny, tj. nie je nutná znalosť metriky alebo okolitého priestoru. Teda kompaktnosť je topologická vlastnosť.

Topologický priestor X sa nazve kompaktným, ak z každého jeho otvoreného pokrytia možno vybrať konečné podpokrytie. Formálne to znamená:

Pre ľubovoľný systém ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ otvorených podmnožín ${\displaystyle X}$ taký, že ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\supseteq X}$, existuje konečná podmnožina ${\displaystyle J\subset I}$ tak, že ${\displaystyle \bigcup _{i\in J}U_{i}\supseteq X}$.

Príklady kompaktných priestorovupraviť | upraviť zdroj

• Prázdna množina.
• Konečný topologický priestor. Všeobecnejšie, priestor s konečnou topológiou (konečne mnoho otvorených množín).
• Uzavretý jednotkový interval ${\displaystyle 0,1}$.
• Uzavretá jednotková guľa konečne rozmerného priestoru.
• Cantorova množina.
• Hilbertova kocka.

Vetyupraviť | upraviť zdroj

Niektoré tvrdenia vzťahujúce sa ku kompaktnosti:

• Spojitý obraz kompaktu je kompakt.
• Spojitá reálna funkcia na kompakte je ohraničená a nadobúda maxima.
• Uzavretá podmnožina kompaktu je kompakt.
• Kompaktná podmnožina Hausdorffovho priestoru je uzavretá.
• Neprázdna kompaktná podmnožina reálnych čísel má najväčší a najmenší prvok.
• Podmnožina Euklidovského priestoru je kompaktná, práve keď je uzavretá a ohraničená. (Heine–Borelova veta)
• Metrický priestor (alebo uniformný priestor) je kompaktný, práve keď je úplný a totálne ohraničený.
• Súčin kompaktných priestorov je kompaktný. (Tichonovova veta)
• Kompaktný Hausdorffov priestor je normálny.
• Každá spojitá bijekcia z kompaktného priestoru do Hausdorffovho pristoru je homeomorfizmus.
• Metrický priestor je kompaktný, práve keď z každej postupnosti možno vybrať konvergentnú podpostupnosť.
• Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý net má konvergentný podnet.
• Topologický priestor je kompaktný, práve keď každý ultrafilter je konvergentný.

Ďalšie formy kompaktnostiupraviť | upraviť zdroj

Existuje množstvo topologických vlastností, ktoré sú ekvivalentné kompaktnosti v metrických priestoroch, ale vo všeobecných topologických priestoroch nie:

• Sekvenciálna kompaktnosť: Každá postupnosť má konvergentnú podpostupnosť.
• Spočítateľná kompaktnosť: Každé spočítateľné otvorené pokrytie má konečné podpokrytie.
• Pseudokompaktnosť: Každá spojitá reálna funkcia je ohraničená.
• Slabá spočítateľná kompaktnosť: Každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.

Platia nasledujúce implikácie:

• Kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
• Sekvenciálne kompaktný priestor je spočítateľne kompaktný.
• Spočítateľne kompaktný priestor je pseudokompaktný a slabo spočítateľne kompaktný.

Metrický priestor sa nazýva prekompaktný alebo totálne ohraničený, ak každá postupnosť má cauchyovskú podpostupnosť.

Pozri ajupraviť | upraviť zdroj

• Lokálne kompaktný priestor
• Metakompaktný priestor
• Parakompaktný priestor

Literatúraupraviť | upraviť zdroj

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (1978) Springer-Verlag, New York