Tomuto článku alebo sekcii chýbajú odkazy na spoľahlivé zdroje, môže preto obsahovať informácie, ktoré je potrebné ešte overiť. Pomôžte Wikipédii a doplňte do článku citácie, odkazy na spoľahlivé zdroje.

Dôkaz sporom alebo dôkaz per absurdum je dôkaz pomocou zákona reductio ad absurdum, teda dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A.

Inými slovami je dôkaz sporom toto: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Alebo slovne: Ak z nejakého predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A.

Je to obmena/špeciálna forma nepriameho dôkazu.

Príklad

Ako príklad dokážeme, že ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ nie je racionálne číslo. Dokazujeme nepriamo. Predpokladáme, že ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ je racionálne číslo. To znamená, že existujú celé čísla ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ také, že

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\sqrt {2}}}$

pričom ${\displaystyle q}$ je rôzne od nuly a ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ sú nesúdeliteľné.

Umocnením oboch strán rovnice na druhú dostaneme, že ${\displaystyle p^{2}/q^{2}=2}$. Z nenulovosti ${\displaystyle q}$ vyplýva ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$, teda číslo ${\displaystyle p^{2}}$ je párne. Keďže ${\displaystyle p^{2}}$ je štvorec, znamená to, že aj samo ${\displaystyle p}$ je párne a možno ho teda vyjadriť v tvare ${\displaystyle p=2m}$ kde ${\displaystyle m}$ je nejaké celé číslo. Keď posledný vzťah skombinujeme so vzťahom ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ zistíme, že ${\displaystyle (2m)^{2}=2q^{2}}$, z čoho po upravení dostaneme ${\displaystyle 2m^{2}=q^{2}}$ ,čo znamená, že aj ${\displaystyle q^{2}}$ je párne číslo. Znovu, keďže ${\displaystyle q^{2}}$ je štvorec, znamená to, že aj ${\displaystyle q}$ je párne. Takto sme dokázali, že ${\displaystyle p}$ aj ${\displaystyle q}$ sú párne čísla a teda číslo 2 je ich spoločným deliteľom. Ale to je spor s predpokladom, že ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ sú nesúdeliteľné.

Pozri aj

• Dôkaz (matematika)

Externé odkazy

• Dôkaz sporom na pohodovamatematika.sk