Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu - Biblioteka.sk

Upozornenie: Prezeranie týchto stránok je určené len pre návštevníkov nad 18 rokov!
Zásady ochrany osobných údajov.
Používaním tohto webu súhlasíte s uchovávaním cookies, ktoré slúžia na poskytovanie služieb, nastavenie reklám a analýzu návštevnosti. OK, súhlasím


Panta Rhei Doprava Zadarmo
...
...


A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu

Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu (alebo základná veta infinitezimálneho počtu, základná veta kalkulu) je jednou z najdôležitejších viet matematickej analýzy, ktorá určuje príbuzenstvo medzi hlavnými operáciami infinitezimálneho počtu, derivovaním a integrovaním. Skladá sa z dvoch častí.

Podľa prvej základnej vety infinitezimálneho počtu derivácia neurčitého integrálu funkcie je funkcia . Táto časť garantuje existenciu primitívnej funkcie pre každú spojitú funkciu.

Druhá základná veta infinitezimálneho počtu umožňuje vypočítať určitý integrál funkcie použitím hociktorej z jej nekonečného množstva primitívnych funkcií. Má obrovské množstvo praktických aplikácií, keďže výrazne zjednodušuje počítanie určitého integrálu.

Fyzikálna intuícia

Základná veta infinitezimálneho počtu hovorí, že súčet všetkých infinitezimálnych zmien nejakej veličiny za čas (alebo inú veličinu) je rovný celkovej zmene tejto veličiny.

Nech častica pohybujúca sa priamočiarym pohybom má funkciu pozície x(t) (je vo vzdialenosti x v čase t). Derivácia tejto funkcie je rovná infinitezimálnej zmene veličiny, dx, za infinitezimálnu zmenu času, dt (derivácia je teda tiež závislá na čase). Táto zmena vzdialenosti za zmenu času je rýchlosť v(t) tejto častice. Leibnizovým zápisom:

Preusporiadaním tejto rovnosti dostávame:

Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že zmena veličiny x (alebo Δx) je súčtom infinitezimálnych zmien dx, a je tiež rovná súčtu infinitezimálnych súčinov derivácie a času. Tento súčet nekonečného množstva infinitezimálnych zmien je integrál; preto proces integrácie umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej derivácie. Dá sa ukázať, že to platí aj naopak: proces derivovania umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej neurčitého integrálu.

Geometrická intuícia

Plocha vyznačená červenou môže byť vypočítaná ako súčin a . Ak by bola známa funkcia , hodnota výrazu (obsah plochy pod krivkou v intervale ) by bola približne rovnaká, ako súčin , zvlášť pre malé .

Nech je spojitá funkcia, ktorej grafom je krivka. Definujeme funkciu tak, že pre každé určíme hodnotu výrazu ako obsah plochy pod krivkou medzi

Obsah plochy pod krivkou medzi a môže byť vypočítaný ako rozdiel . Obsah obdĺžnika so stranami a je tiež približne rovný tejto hodnote:

Je zrejmé, že presnosť je tým väčšia, čím menšie je . Ak sa limitne približuje k nule, výrazy sú si rovné.

Delením obidvoch strán rovnosti hodnotou dostávame:

Keď , pravá strana prechádza na deriváciu funkcie plochy , takže môžeme neformálne ukázať, že , teda že derivácia funkcie plochy je pôvodná funkcia (funkcia plochy je primitívnou funkciou pôvodnej funkcie).

Počítanie derivácie funkcie a hľadanie obsahu plochy pod krivkou funkcie sú teda inverzné operácie. Toto je kľúčom Základnej vety infinitezimálneho počtu.

Formálne vyjadrenie

Jednoducho povedané prvá časť hovorí o derivácii primitívnej funkcie a druhá časť o príbuzenstve primitívnej funkcie a určitého integrálu.

Prvá časť

Nech je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale tak, že pre všetky platí

kde je spojitá reálna funkcia definovaná na intervale . Potom aj je spojitá na intervale Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (MathML s fallbackom na SVG alebo PNG (odporúčané pre moderné prehliadače a nástroje pre zjednodušenie prístupu): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left \langle a , b \right \rangle} , derivovateľná na otvorenom intervale , a

pre všetky .

Dôkaz

Pre dané f(t) definujme funkciu F(x) takto

Pre každé dve čísla x1 a x1 + Δx v intervale máme

a

Odčítaním prvej rovnice od druhej:

Dá sa ukázať, že

Zdroj: Wikipedia.org - čítajte viac o Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu





Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

Your browser doesn’t support the object tag.

www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk