A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu (alebo základná veta infinitezimálneho počtu, základná veta kalkulu) je jednou z najdôležitejších viet matematickej analýzy, ktorá určuje príbuzenstvo medzi hlavnými operáciami infinitezimálneho počtu, derivovaním a integrovaním. Skladá sa z dvoch častí.
Podľa prvej základnej vety infinitezimálneho počtu derivácia neurčitého integrálu funkcie je funkcia . Táto časť garantuje existenciu primitívnej funkcie pre každú spojitú funkciu.
Druhá základná veta infinitezimálneho počtu umožňuje vypočítať určitý integrál funkcie použitím hociktorej z jej nekonečného množstva primitívnych funkcií. Má obrovské množstvo praktických aplikácií, keďže výrazne zjednodušuje počítanie určitého integrálu.
Fyzikálna intuícia
Základná veta infinitezimálneho počtu hovorí, že súčet všetkých infinitezimálnych zmien nejakej veličiny za čas (alebo inú veličinu) je rovný celkovej zmene tejto veličiny.
Nech častica pohybujúca sa priamočiarym pohybom má funkciu pozície x(t) (je vo vzdialenosti x v čase t). Derivácia tejto funkcie je rovná infinitezimálnej zmene veličiny, dx, za infinitezimálnu zmenu času, dt (derivácia je teda tiež závislá na čase). Táto zmena vzdialenosti za zmenu času je rýchlosť v(t) tejto častice. Leibnizovým zápisom:
Preusporiadaním tejto rovnosti dostávame:
Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že zmena veličiny x (alebo Δx) je súčtom infinitezimálnych zmien dx, a je tiež rovná súčtu infinitezimálnych súčinov derivácie a času. Tento súčet nekonečného množstva infinitezimálnych zmien je integrál; preto proces integrácie umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej derivácie. Dá sa ukázať, že to platí aj naopak: proces derivovania umožňuje nájsť pôvodnú funkciu z jej neurčitého integrálu.
Geometrická intuícia
Nech je spojitá funkcia, ktorej grafom je krivka. Definujeme funkciu tak, že pre každé určíme hodnotu výrazu ako obsah plochy pod krivkou medzi až
Obsah plochy pod krivkou medzi a môže byť vypočítaný ako rozdiel . Obsah obdĺžnika so stranami a je tiež približne rovný tejto hodnote:
Je zrejmé, že presnosť je tým väčšia, čím menšie je . Ak sa limitne približuje k nule, výrazy sú si rovné.
Delením obidvoch strán rovnosti hodnotou dostávame:
Keď , pravá strana prechádza na deriváciu funkcie plochy , takže môžeme neformálne ukázať, že , teda že derivácia funkcie plochy je pôvodná funkcia (funkcia plochy je primitívnou funkciou pôvodnej funkcie).
Počítanie derivácie funkcie a hľadanie obsahu plochy pod krivkou funkcie sú teda inverzné operácie. Toto je kľúčom Základnej vety infinitezimálneho počtu.
Formálne vyjadrenie
Jednoducho povedané prvá časť hovorí o derivácii primitívnej funkcie a druhá časť o príbuzenstve primitívnej funkcie a určitého integrálu.
Prvá časť
Nech je reálna funkcia definovaná na uzavretom intervale tak, že pre všetky platí
kde je spojitá reálna funkcia definovaná na intervale . Potom aj je spojitá na intervale Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (MathML s fallbackom na SVG alebo PNG (odporúčané pre moderné prehliadače a nástroje pre zjednodušenie prístupu): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle \left \langle a , b \right \rangle} , derivovateľná na otvorenom intervale , a
pre všetky .
Dôkaz
Pre dané f(t) definujme funkciu F(x) takto
Pre každé dve čísla x1 a x1 + Δx v intervale máme
a
Odčítaním prvej rovnice od druhej:
Dá sa ukázať, že
Appellova postupnosť
Archimedova axióma
Bernoulliho nerovnosť
Bolzanova veta
D’Alembertovo kritérium
Darbouxova veta
Diferenciálna rovnica
Diferenciálny a integrálny počet
Doplnenie na štvorec
Extrém (funkcia)
Fourierova transformácia
Fourierov rad
Funkcionálna analýza
Gaussova veta
Greenove identity
Infimum
Integrálna rovnica
Interval (matematika)
Inverzné zobrazenie (funkcia)
Komplexná analýza
Konkávna funkcia
Konvexná funkcia
Kvázimetrický priestor
Kvadratický odhad
L’Hospitalovo pravidlo
Lagrangeov polynóm
Lebesgueova miera
Lebesgueov integrál
Limita
Logistická funkcia
Matematická analýza
Newtonov polynóm
Nosič funkcie
Obor hodnôt
Primitívna funkcia
Pseudometrický priestor
Reálna analýza
Riemannov integrál
Spojitá funkcia
Systém lovec-korisť
Taylorov rad
Teória pravdepodobnosti
Určitý integrál
Weierstrassova veta
Youngova nerovnosť
Základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk