Entropie je jedním ze základních a nejdůležitějších pojmů ve fyzice, teorii pravděpodobnosti a teorii informace, matematice a mnoha dalších oblastech vědy teoretické i aplikované. Vyskytuje se všude tam, kde se pracuje s pravděpodobností možných stavů daného systému.

V populárních výkladech se často vyskytuje přiblížení entropie jako veličiny udávající „míru neuspořádanosti“ zkoumaného systému. Problémem tohoto vysvětlení je, že tato „definice“ používá pojem „neuspořádanost“, který je však sám nedefinovaný. Vhodnější je intuitivní představa entropie jako míry neurčitosti systému. Zatímco „ostrá“ rozdělení pravděpodobnosti (jako například prahování) mají entropii nízkou, naopak „neostrá“ či „rozmazaná“ rozdělení pravděpodobnosti mají entropii vysokou. Za pravděpodobnostní rozložení s nejvyšší entropií lze považovat normální (pro danou střední hodnotu a směrodatnou odchylku) nebo rovnoměrné (pro daný interval) rozložení.

Původ slova „entropie“ je odvozen z řeckého εντροπία, "směrem k", (εν- "k" + τροπή "směrem").^[1]

Historie

Pojem (termodynamické) entropie zavedl Rudolf Clausius v kontextu klasické termodynamiky s cílem vysvětlit, proč některé procesy jsou spontánní a jiné nejsou.

Mikroskopickou definici entropie předložil Ludwig Boltzmann v roce 1887, jako jeden z centrálních pojmů jím založeného nového oboru fyziky - statistické mechaniky.

Claude Elwood Shannon v r. 1948 na hypotéze, že informace je činitel související s mírou poodhalení té věčně zamlžené „pravdy“ hledané člověkem, postavil matematickou hypotézu vedoucí ke vztahu, známému dříve již jako entropie. Použil tehdy jedinou známou jazykovou reprezentaci neurčitosti – pravděpodobnost, a tak dospěl k uvedenému vztahu. Dal tak základy teorii informace jako exaktní vědě (v článku: Claude Elwood Shannon, Warren Weaver: „A mathematical theory of communication“ v r. 1948).

Definice

V případě diskrétních stavů i pravděpodobností je entropie nejčastěji definovaná (Josiah Willard Gibbs) jako veličina typu:

${\displaystyle S=-k\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}\!}$

kde S je obecně používaný symbol pro entropii. Sumace se provádí přes všechny mikrostavy odpovídající zadanému makrostavu, a ${\displaystyle P_{i}~}$ je pravděpodobnost i-tého mikrostavu. Konstanta k odpovídá volbě jednotek, ve kterých je entropie S měřena. V jednotkách SI je k = k_B = Boltzmannova konstanta = 1,380 649×10⁻²³ J K⁻¹. Jednotka entropie je tedy formálně stejná, jako jednotka tepelné kapacity. V jednotkách bit je k = 1/ln(2), takže

${\displaystyle S=-\sum P_{i}\log _{2}P_{i}}$.

Z matematického pohledu je tedy entropie určitý aditivní funkcionál na pravděpodobnostních rozděleních. Z pohledu fyziky je entropie klíčová veličina pro formulaci druhého zákona termodynamiky. Tento zákon klade principiální meze pro možnost získat z termodynamické soustavy užitečnou práci.^[2][3] Pojem entropie a druhý zákon termodynamiky může být také uplatněn při řešení otázky, jestli daný proces bude probíhat spontánně. Spontánní procesy v uzavřených soustavách vždy odpovídají nárůstu entropie.

V případě izolovaného systému v rovnováze (Boltzmann) platí:

${\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln \Omega \,,}$

kde ${\displaystyle \Omega \,}$ je systému dostupná část fázového prostoru (u stejnocenných mikrostavů se jedná jednoduše o počet rozlišitelných mikrostavů daného makroskopického stavu systému).

Termodynamická entropie

Podíl tepla ${\displaystyle Q}$ a teploty ${\displaystyle T}$ bývá označován jako redukované teplo. Při vratném Carnotově cyklu je součet redukovaných tepel roven nule. Vzhledem k tomu, že libovolný vratný cyklus je možné aproximovat elementárními Carnotovými cykly, jejichž redukované teplo lze vyjádřit jako ${\displaystyle {\frac {\Delta Q}{T}}}$, je možné předchozí tvrzení zobecnit na libovolný vratný cyklus.

Proběhnutí všech elementárních Carnotových cyklů je pak ekvivalentní aproximovanému vratnému ději, což lze vyjádřit jako

${\displaystyle \sum {\frac {\Delta Q}{T}}=0}$

Postupným zmenšováním elementárních Carnotových cyklů se v limitě dostaneme k výrazu

${\displaystyle \oint {\frac {\delta Q}{T}}=0}$

Tento vztah je označován jako Clausiova rovnice a představuje podmínku, která je platná pro libovolný vratný kruhový děj. Tuto rovnici lze považovat za matematické vyjádření druhého termodynamického zákona: Všechna ${\displaystyle \delta Q}$ nemohou být kladná, ale některá musí být i záporná. Soustava, která vykonává vratný kruhový děj tedy nemůže od okolních těles teplo pouze přijímat, ale musí jim také nějaké teplo odevzdávat.

Předchozí rovnice umožňuje definovat novou termodynamickou stavovou veličinu - entropii ${\displaystyle S}$. Její změnu při vratném termodynamickém ději lze vyjádřit pomocí tepla ${\displaystyle Q}$ dodaného soustavě a její termodynamické teploty ${\displaystyle T}$ ve formě integrálu

${\displaystyle S_{2}-S_{1}=\int {\frac {\delta Q}{T}}}$.

Pro nevratný děj platí Clausiova nerovnost:^[4]

${\displaystyle \oint {\frac {\delta Q}{T}}<0,}$

zde T označuje místo teploty soustavy teplotu termostatu.

Princip růstu entropie

Entropie je veličina s velkým významem, neboť umožňuje formulovat druhou hlavní větu termodynamiky, a vyjádřit kvantitativně nevratnost tepelných pochodů. Tuto skutečnost vyjadřuje princip růstu entropie.

Za příklad nevratného děje lze považovat pokles závaží spojený s uvolněním jisté potenciální energie. Pokud klesne závaží o určitou výšku ${\displaystyle h}$ a je zastaveno třením, vykoná práci ${\displaystyle W}$, při které třením vznikne teplo ${\displaystyle Q=W}$. Toto teplo je odvedeno do okolí, které lze považovat za těleso s teplotou ${\displaystyle T}$, a jehož entropie se tím změní o hodnotu ${\displaystyle \Delta S={\frac {Q}{T}}}$. Předpokládá se přitom, že teplota okolí se přidáním tepla ${\displaystyle Q}$ nijak znatelně nezmění. Přivedené teplo je kladné, a proto je také změna entropie kladná. Entropie soustavy tedy při tomto nevratném ději vzrostla.

Uvažujme tepelně izolovanou soustavu dvou těles 1 a 2 s teplotami ${\displaystyle T_{1}}$ a ${\displaystyle T_{2}}$.

Tělesa si mohou vyměňovat tepelnou energii, přičemž celková hodnota tepelné energie zůstává stálá. Získá-li těleso 2 o teplotě ${\displaystyle T_{2}}$ teplo ${\displaystyle \partial Q_{2}}$, musí těleso 1 stejně velké teplo odevzdat, tzn. ${\displaystyle \partial Q_{2}=-\partial Q_{1}}$. Bude tedy platit ${\displaystyle \partial Q_{1}+\partial Q_{2}=0}$.

Změna entropie bude

${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} S_{1}+\mathrm {d} S_{2}={\frac {\partial Q_{1}}{T_{1}}}+{\frac {\partial Q_{2}}{T_{2}}}=\left({\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right)\partial Q_{1}={\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{1}T_{2}}}\partial Q_{1}}$

Z tohoto vztahu je vidět, že pokud mají výraz ${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$ a teplo ${\displaystyle \partial Q_{1}}$ stejné znaménko, pak ${\displaystyle \mathrm {d} S>0}$, jinak ${\displaystyle \mathrm {d} S<0}$. Podle Clausiovy formulace druhé hlavní věty však teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na těleso teplejší. Je-li tedy ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$, nemůže teplo přejít z tělesa 1 na těleso 2, a proto musí být ${\displaystyle \partial Q_{1}>0}$, tzn. ${\displaystyle \partial Q_{2}<0}$. Pokud však ${\displaystyle T_{2}<T_{1}}$, nemůže teplo přejít z tělesa 2 na těleso 1, takže musí být Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Entropie
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.