V lineární algebře se matice, která vznikne z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a obvykle se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$. ^[1] Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. ^[2] Reprezentuje-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ binární relaci, pak její transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ odpovídá inverzní relaci.

Definice

Matici transponovanou k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ lze získat libovolnou z následujících metod:

1. Převrácením ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ podél její hlavní diagonály nebo
2. zápisem řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ do sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$nebo
3. zápisem sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ do řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$.

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })_{ij}=a_{ji}}$

Pokud má matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ rozměry ${\displaystyle (m,n)}$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech ${\displaystyle (n,m)}$.

Symbol ${\displaystyle \mathrm {T} }$ je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné ${\displaystyle i}$ ve výrazu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{i}}$, znamenajícím ${\displaystyle i}$-tou mocninu čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Ukázky

• Transpozicí matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}}$ vznikne ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}}$.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

Definice matic využívající transpozici

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je symetrická, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}}$.

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je antisymetrická, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}}$.

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je hermitovská, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\overline {\boldsymbol {A}}}}$.

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je ortogonální, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$.

Vlastnosti

• Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}}$,

neboli operace transpozice je involuce.

• Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:

${\displaystyle (c{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$

neboli transpozice zachovává skalární násobek matic.

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }}$

neboli transpozice zachovává součet matic.

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

${\displaystyle {\left(\mathit{A}\mathit{B}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Transpozice_matice
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---