A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Taylorov rad funkcie premennej v bode je potenčný rad (mocninový rad) so stredom v tvare
pričom
- je -tá derivácia funkcie v bode ,
- má v okolí bodu derivácie všetkých rádov.
Funkcia sa nazýva analytická (v bode ) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je
- .
Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula.
Taylorov rozvoj (funkcie premennej v bode ) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu sa rovná . Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v bode .
Účel
Mnohoznačne zložité funkcie je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad sínus, kosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve Taylorov rad umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly
- .
- .
Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.
Intuitívne odvodenie
Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa . Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich definičného oboru. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich derivácie všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod . Vezmime funkciu a všeobecný polynóm
Treba však nájsť koeficienty , aby nastala rovnosť , pre . Jednoducho možno odvodiť, že . Ďalší koeficient možno osamostatniť derivovaním a dosadením nuly. Koeficient teda vypočítame prvou deriváciou
Po dosadení jednoducho . Všeobecne pre -ty člen polynómu platí
Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.
Definícia
Nech je
Štatistika
Abelova cena
Algebra
Algoritmy
Aplikovaná matematika
Aritmetika
Ceny za matematiku
Dejiny matematiky
Diagramy
Diskrétna matematika
Eponymické termíny v matematike
Filozofia matematiky
Finančná analýza
Funkcie
Geometria
Kombinatorika
Logika
Matematická analýza
Matematická logika
Matematická terminológia
Matematické funkcie
Matematické hry
Matematické hypotézy
Matematické konštanty
Matematické metódy vo fyzike
Matematické nástroje
Matematické problémy
Matematické súťaže
Matematické výhonky
Matematické vety
Matematické zápisy
Matematické zoznamy
Matematický softvér
Štruktúra (matematika)
Štruktúra (usporiadanie entít)
Štvorrozmerný priestor
Abakus (počítacia tabuľka)
Abscisa
Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)
Abstraktná relácia
Aditívnosť
Aktuálne nekonečno
Algebrické číslo
Algoritmizácia
Analytická geometria
Aplikovaná matematika
Arabská číslica
Argument (matematika)
Asymptota
Axiomatika
Axiomatizácia
Bázický bod
Binomická rovnica
Binomická veta
Cauchyho postupnosť
Celé číslo
Dedukcia
Definičný znak
Determinant (matematika)
Diferenciálna geometria
Diskrétna matematika
Diskriminant (matematika)
Dobre založená relácia
Doplnková trieda
Doplnok (množiny)
Dvojitý faktoriál
Ekonometria
Ekvivalentnosť
Faktoriál
Feynmanov bod
Fieldsova medaila
Fraktál
Funkčná závislosť
Gödelova veta o neúplnosti
Gaussova krivka
Geometria
Gradient (matematika)
Guľa (matematika)
Hausdorffova miera
Heterarchia
Hierarchia
Homomorfia
Induktívna definícia
Intuicionizmus
Invariant (matematika)
Jednoprvková množina
Karteziánska sústava súradníc (v najužšom zmysle)
Komplexné číslo
Konštruktivistická matematika
Konečná množina
Kvocient
Lambda-operátor
Lebesgueova veta
Lemma
Liova grupa
Logická funkcia
Logistická metóda
Matematická štatistika
Matematická štruktúra
Matematická analýza
Matematická entita
Matematická veličina
Matematická zákonitosť
Matematický hmotný bod
Matematický jazyk
Matematický objekt
Matematický systém
Matematický termín
Matematický zákon
Matematik
Matematika
Matematizácia javov
Matematizmus
Metainformácia
Množstvo
Mnohouholník
Molekulárny výraz
N-členná relácia
Nahradzovanie čísiel
Neekvivalentná úprava rovnice
Nekonečno
Nekonečno (matematika)
Nepriamy dôkaz (logika)
Nerovnosť
Nesúmerateľnosť
NP-úplný problém
Numerická matematika
Oblasť (matematika)
Odmocnina
Operácia s matematickými objektami
Operátorový počet
Ordináta
Párna mocnina
Písmeno vo význame čísla
Parameter
Parts per million
Pascalov trojuholník
Percento
Percentuálny bod
Pojem algoritmu
Pojem množiny
Polárna sústava súradníc
Poloha
Polynomiálna transformovateľnosť
Porovnávanie
Portál:Matematika
Potenciálne nekonečno
Príklad
Pravdepodobnosť
Pravdivosť výroku
Pravidlo generalizácie
Pravidlo substitúcie
Priemer (štatistika)
Priesečník
Primitívny znak
Priorita operátorov
Priraďovací operátor
Promile
Reálna os
Rekurentný vzorec
Relácia (matematika)
Relačný systém
Rhindov papyrus
Riešenie rovnice
Riešiteľný problém
Rovina komplexných čísiel
Rozdiel (matematika)
Rozklad množiny A
Súčin určitého čísla a čísla zapísaného pismenom
Singularita (matematika)
Smer (matematika)
Spojitá matematika
Správna rovnosť
Stopa matice
Taylorov rad
Teória čísel
Teória chaosu
Teória miery
Teória množín
Torus (geometria)
Transfinitný
Trisekcia uhla
Univerzum (matematika)
Výpočet
Výpočtová zložitosť
Výsledok (matematika)
Veličina (matematika)
Veta (matematika)
Viazaná premenná
Wienerova cena
Základná hodnota
Základná množina
Základný matematický výskum
Základy matematiky
Záporné číslo
Zdvojenie kocky
Zhodnosť (rovnakosť)
Zložitosť
Zložitosť funkcie
Znamienko (matematika)
Zoznam významných matematikov
Zväz (matematika)
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk