Stirlingova approximácia, tiež nazývaná ako Stirlingova formula je približný vzťah na výpočet veľkých faktoriálov. Je pomenovaná po Jamesovi Stirlingovi, škótskom matematikovi.

Zjednodušená (a menej presná aproximácia), znie takto:

${\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln n-n+1.}$

Táto aproximácia sa tiež nazýva po Stirlingovi. Presnejšie vyjadrenie Stirlingovej approximácie vyzerá takto:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Odvodenie

Nasledujúce odvodenie platí len pre zjednodušenú aproximáciu, ktorá je však väčšinou postačujúca. Namiesto toho, aby sme aproximovali n!, vyjadríme prirodzený logaritmus tohoto faktoriálu:

${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$

Pravú stranu si musíme predstaviť ako určitý integrál zjednodušený podľa lichobežníkového pravidla. Ak by sme x-ovú os rozdelili po jednotkových intervaloch, tak ide vlastne o výpočet integrálu ${\displaystyle \int _{1}^{n}\ln(x)\,dx}$ podľa lichobežníkového pravidla.

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x}$

${\displaystyle \int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=_{1}^{n}=n\ln(n)-n+1}$

Táto aproximácia je zaťažená chybou, ktorá sa dá odhadnúť na základe určitých pravidiel a jej započítanie vedie k presnejšej Stirlingovej formule.

Táto aproximácia je veľmi dôležitá v štatistike, keďže vo výrazoch na výpočet pravdepodobnosti často figurujú faktoriály. V štatistickej termodynamike sa vďaka nej dajú zo základných princípov odvodiť niektoré ďalšie vzorce.

Pozri aj

• Faktoriál
• Zmiešavacia entropia