Reciproká rovnica alebo recipročná rovnica n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\,,\,\,a_{n}\neq 0.}$

kde

•  ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n}$ je reciproký mnohočlen 1. druhu (kladne reciproký)
•  ${\displaystyle a_{k}=-a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n}$ je reciproký mnohočlen 2. druhu (záporne reciproký)

Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.

• každá reciproká rovnica druhého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu.
• každá reciproká rovnica prvého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa.
• reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa n je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom ${\displaystyle x^{\dfrac {n}{2}}}$ a substitúciou:

${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}$

${\displaystyle y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle y^{3}-3y=x^{3}+{\dfrac {1}{x^{3}}}}$

${\displaystyle y^{4}-4y^{2}+2=x^{4}+{\dfrac {1}{x^{4}}}}$

Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo ${\displaystyle c}$ riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo ${\displaystyle 1/c}$ je jej riešením. V prípade koreňa ${\displaystyle c=1}$ je to ${\displaystyle c={\frac {1}{1}}=1}$, čo je triviálny prípad.

${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle 2x^{3}+3x^{2}+3x+2=0}$

${\displaystyle a_{3}=2=a_{0}}$

${\displaystyle a_{2}=3=a_{1}}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.

${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle 3x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+3=0}$

${\displaystyle a_{4}=3=a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=-5=-a_{1}}$

${\displaystyle a_{2}=8=-a_{2}}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.

${\displaystyle 3)}$ ${\displaystyle 12x^{4}-25x^{3}+25x-12=0}$

${\displaystyle a_{4}=12=-a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=-25=-a_{1}}$

Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.

${\displaystyle 4)}$ ${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}$

${\displaystyle a_{4}=1=a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=1=a_{1}}$

${\displaystyle a_{2}=1=a_{2}}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.

$$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.