Ilustrácia Pytagorovej vety

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$,

kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ sú dĺžky odvesien a ${\displaystyle c}$ je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.^[1]

Dejiny

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý.

Pravý uhol

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety

Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti ${\displaystyle k}$ je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca ${\displaystyle k}$-násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou ${\displaystyle k}$ a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Unitárnom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom tj. unitárny priestor. Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ${\displaystyle \mathbf {c} }$, pre ktoré platí

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a} \qquad \mathbf {a} \perp \mathbf {b} .}$

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {c} \|^{2},}$

kde ${\displaystyle \|\cdot \|}$ je norma indukovaná skalárnym súčinom príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku ${\displaystyle ABC}$ s pravým uhlom pri vrchole ${\displaystyle C}$ označíme

${\displaystyle \mathbf {a} =B-C,\ \ \mathbf {b} =A-C,\ \ \mathbf {c} =A-B,}$

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

Dôkazy Pytagorovej vety

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou ${\displaystyle a+b}$ je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$
• zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou ${\displaystyle c}$.

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

• Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$. Pre jeho obsah teda platí:

${\displaystyle S=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$.

• Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou ${\displaystyle c}$. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov (${\displaystyle {\begin{matrix}4{\frac {ab}{2}}=2ab\end{matrix}}}$) a bieleho štvorca so stranou c (${\displaystyle c^{2}}$). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

${\displaystyle S=2ab+c^{2}}$.

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly (${\displaystyle DCB}$ a ${\displaystyle DAC}$, ktorý sa rovná uhlu ${\displaystyle BAC}$) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° (${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {rad} }$). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

1. ${\displaystyle {\mathit {|BAC|+|ACB|+|CBA|}}=180^{\circ }}$
2. ${\displaystyle \mathit{|}\mathit{C}\mathit{B}\mathit{D}}$Zdroj:
   Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

   ---