Pohyb po kružnici - Biblioteka.sk

Upozornenie: Prezeranie týchto stránok je určené len pre návštevníkov nad 18 rokov!
Zásady ochrany osobných údajov.
Používaním tohto webu súhlasíte s uchovávaním cookies, ktoré slúžia na poskytovanie služieb, nastavenie reklám a analýzu návštevnosti. OK, súhlasím


Panta Rhei Doprava Zadarmo
...
...


A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Pohyb po kružnici

Pohyb po kružnici (iné názvy: kruhový pohyb (hmotného bodu), otáčavý (resp. rotačný) pohyb hmotného bodu[1][2]) je taký pohyb, pri ktorom sa teleso pohybuje po kružnici, jeho trajektória je teda kruhová. Patrí medzi tzv. krivočiare pohyby. Tento pohyb môže byť rovnomerný, rovnomerne zrýchlený alebo nerovnomerne zrýchlený.

Príkladmi pohybu po kružnici sú točenie ventilátora; točenie guličky na konci pevného lana; pohyb pasažierov na retiazkového kolotoči, keď sa nemení vzdialenosť sedačiek od osi otáčania; obeh satelitu okolo planéty v konštantnej vzdialenosti od planéty; pohyb nabitých častíc, ak ich rýchlosť je kolmá na magnetické pole, v ktorom sa nachádzajú. Ak sa teleso otáča okolo pevnej osi, všetky body telesa vykonávajú pohyb po kružnici.

Opis pohybu po kružnici má širší význam než sa z jeho definície na prvý pohľad môže zdať, pretože (takmer) ľubovoľný krivočiary pohyb sa dá opísať tak, že ku krivke pohybu (teda trajektórii) v danom bode priložíme kružnicu, ktorá túto krivku v danom “záhybe” krivky čo najlepšie aproximuje (tzv. oskulačná kružnica) a potom počítame pomocou údajov pre túto kružnicu (existujú však pochopiteľne aj iné metódy opisu krivočiareho pohybu). Okrem toho v kontexte pohybu nie jedného hmotného bodu, ale nejakého celého telesa (presnejšie tzv. dokonalého tuhého telesa, teda tvarovo nemennej sústavy hmotných bodov) tvorí pohyb po kružnici základ analýzy tzv. otáčavého pohybu telesa (napríklad pohyb listu vrtule). Pri otáčavom pohybe majú jednotlivé časti (hmotné body) toho istého rotujúceho telesa (napr. listu vrtule) pochopiteľne rozličné rýchlosti, pretože opisujú rozlične veľké kružnice za ten istý čas podľa toho, ako sú ďaleko od osi otáčania; zároveň však majú zhodné uhlové rýchlosti. Rovnomerný pohyb po kružnici pri pohľade v rovine kružnice vyzerá rovnako ako lineárny harmonický pohyb.

Skrátená verzia nasledujúceho textu je uvedená v článku rýchlosť (fyzikálna veličina).

Uhlové veličiny opisujúce otáčavý pohyb a ich vzťah k posuvným veličinám

V kontexte pohybu po kružnici rozlišujeme medzi (posuvnou/“normálnou”) obvodovou rýchlosťou , (posuvným/obvodovým/“normálnym”) zrýchlením a (“normálnou”) dráhou (s) na jednej strane a uhlovou rýchlosťou , uhlovým zrýchlením a uhlovou dráhou na strane druhej.

Uhlová dráha je uhol, o aký sa teleso pohlo okolo osi otáčania. Uvádza sa v radiánoch a v radiánoch pre prejdenú dráhu a uhlovú dráhu platí

,

kde je polomer otáčania, teda vzdialenosť telesa od osi otáčania. Uhlová rýchlosť je okamžitá zmena uhlovej dráhy za čas. Ak je polomer otáčania konštantný (napríklad teleso sa otáča okolo pevnej osi), platí

a aj

.

Rovnomerný pohyb po kružnici

Figure 1: Rýchlosť v a zrýchlenie a pri rovnomernom pohybe po kružnici. Veľkosť rýchlosti je konštantná a v smere dotyčnice ku kruňici, po ktorej sa bod pohybuje; zrýchlenie má konštantnú veľkosť a smeruje k osi otáčania.

Toto je špeciálny prípad pohybu po kružnici, keď je uhlová rýchlosť otáčania konštantná a teda obvodová rýchlosť hmotného bodu nemení svoju veľkosť, iba svoj smer. Keďže vektor rýchlosti sa mení, hmotný bod má nenulové posuvné zrýchlenie, ktoré smeruje ku osi otáčania a nazýva sa dostredivé zrýchlenie. Vo vzťažnej sústave, ktorá vykonáva rovnomerný pohyb po kružnici, sa toto zrýchlenie prejavuje ako následok fiktívnej odstredivej sily.

Pre rovnomerný pohyb po kružnici platí

,

kde je perióda pohybu a je frekvencia pohybu. Veľkosť dostredivého zrýchlenia je

.

Keďže uhlová rýchlosť je konštantná, uhlové zrýchlenie je nulové a prejdetá uhlová dráha lineárne rastie v čase:

,
,

kde je hodnota prejdenej uhlovej dráhy v čase .

Obvodová rýchlosť je kolmá na smer sprievodič (čo je spojnica stredu kružnice, po ktorej sa pohyb uskutočňuje, s aktuálnou polohou hmotného bodu) a má pre všetky body v rovnakej vzdialenosti od osi otáčania rovnakú veľkosť.

Všeobecný prípad pohybu po kružnici

Pokiaľ ide o vzorce pohybu po kružnici, majme najprv dané toto:

  • Základné vzorce platné pre akékoľvek výpočty rýchlosti a zrýchlenia (podrobnosti pozri v článku rýchlosť (fyzikálna veličina)):
    • t je čas
    • s (presnejšie sb) je dĺžka oblúka (iné názvy: dĺžka/veľkosť dráhy, dráha, obvodová dráha a pod.)
    • r je polohový vektor
    • vd = ds/dt je okamžitá dráhová rýchlosť
    • v = dr/dt =|v|.τ je vektor okamžitej rýchlosti
    • |v|= (+/-) vd je veľkosť vektora okamžitej rýchlosti (pre pohyb v smere číslovania krivočiarej súradnice s |v|= vd, pre pohyb v opačnom smere |v|= - vd)
    • τ je jednotkový vektor v smere v a teda aj v smere at (tzv. tangenciálny jednotkový vektor) (čiže v=|v|. τ a at=|at|.τ); jeho konkrétny vzorec pri pohybe po kružnici je uvedený nižšie
    • ad = dvd/dt je okamžité dráhové zrýchlenie
    • a =dv/dt = at + an je vektor okamžitého zrýchlenia
    • |at| = d|v|/dt = (+/-) ad je veľkosť vektora tangenciálneho (či dotyčnicového) zrýchlenia (pre zrýchlený pohyb |at|=ad, pre spomalený pohyb |at|=- ad)
    • |an|= |v|2/R je veľkosť vektora normálového zrýchlenia, ktoré najmä v kontexte pohybu po kružnici voláme aj dostredivé (či centripetálne) zrýchlenie (R je polomer oskulačnej kružnice; ak má nejaká dráha priamo tvar kružnice tak R sa rovná jednoducho polomeru kružnice)
    • |a| = je veľkosť vektora okamžitého zrýchlenia
    • at = |at|. τ je vektor tangenciálneho zrýchlenia
    • an = |v|.(dτ/dt) je vektor normálového zrýchlenia, ktoré sa najmä v kontexte pohybu po kružnici nazýva aj dostredivé (či centripetálne) zrýchlenie
    • 0 znamená „na začiatku“ (t.j. v čase t0)
  • Ostatné:
    • stred kruhu je na zjednodušenie výkladu stotožnený s počiatkom karteziánskej súradnicovej sústavy
    • r je polomer kružnice (|r|=r)
    • T je perióda pohybu (iné názvy: obežná doba, perióda obehu, perióda otáčania, perióda a pod.), čo je doba jedného celého obehu po kružnici
    • f = 1/T je frekvencia (iné názvy: frekvencia otáčania, otáčky)
    • obvod kruhu = 2πr
    • ϕ je polohový uhol (iné názvy: uhlová súradnica, uhol otáčania), t.j. uhol medzi sledovaným polohovým vektorom a nejakým referenčným polohovým vektorom (ktorým je obyčajne x-ová os) meraný v smere y-ovej súradnice
    • ϕ je vektor polohového uhla; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania) a jeho veľkosť|ϕ| sa volá uhlová dráha (formálne je uhlová dráha síce len veľkosť kolmice na rovinu a nie priamo polohový uhol, platí však |ϕ|= ϕ)
    • ω = dϕ/dt =|ω| je (okamžitá) uhlová rýchlosť,
    • ω = dϕ/dt je vektor (okamžitej) uhlovej rýchlosti; jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania), pričom jeho orientácia je zhodná s orientáciou vektora ϕ iba ak ϕ rastie, inak má opačnú orientáciu
    • α = dω/dt = d2ϕ/dt = |α| je (okamžité) uhlové zrýchlenie (alternatívne sa značí: ɛ); pozor na zámenu „α“ ako uhlového zrýchlenia s „α“ ako bežným označením uhlov (ide iba o náhodnú zhodu značenia)
    • α = dω/dt = d2ϕ/dt je vektor (okamžitého) uhlového zrýchlenia (alternatívne sa značí: ɛ); jeho smer je vždy kolmý na rovinu x-y (teda rovinu otáčania), pričom jeho orientácia je zhodná s orientáciou vektora ω iba ak ω rastie, inak má opačnú orientáciu
    • τ =(-sinϕ, cosϕ) – vysvetlenie pozri vyššie
    • τn =(-cosϕ, -sinϕ) je jednotkový vektor v smere an (tzv. normálový jednotkový vektor) a teda aj v smere opačnom než r (čiže an =|an|.τn a r=-|r|. τn = -r. τn)
    • τω je jednotkový vektor v smere ω (čiže ω = |ω|. τω= ω. τω)
    • x (t.j. krížik) je znak vektorového súčinu…
  • Δs = s-s0; Δϕ = ϕ – ϕ0; Δ|v|=|v| - |v0|; Δt = t – t0

Potom platí (popri vyššie uvedených vzorcoch):

  • Δs = r.Δϕ (t.j. s = s0 + r. (ϕ- ϕ0)) resp. Δϕ = Δs/r (Pochopiteľne mimochodom platí aj všeobecne platný vzorec s= )
    1. Toto vyplýva zo všeobecne platného vzorca pre kruhový výsek.
    2. Ak ϕ nemeriame v radiánoch, ale v stupňoch, tak platí Δs = r. Δϕ.2.π /360°.
    3. V prípade celého jedného obehu (Δs = 2.π.r) je Δϕ = 2.π v radiánoch (resp. Δϕ = 360° v stupňoch).
    4. Vzorec s= vyplýva z |v|=ds/dt
  • |v| = vd = r.(dϕ/dt) = r.ω (Keďže presnejšie je +/-|v| = vd, tak presnejšie by malo byť: |v| =|vd| = |r.(dϕ/dt)| = |r.ω|)
    vd = r.(dϕ/dt) vyplýva zo spojenia vzorcov vd=ds/dt a Δs = r.Δϕ
  • |at| = ad = r.(d2ϕ/dt) = r.α (Keďže presnejšie je +/- |at| = ad, tak presnejšie by malo byť: |at| = |ad| = |r.(d2ϕ/dt)| = |r.α|)
    |at| = r.(d2ϕ/dt) vyplýva zo spojenia vzorcov|at| = ad , ad = dvd/dt a vd = r.dϕ/dt
  • |an| =vd2/r = r.ω2 = vd
    |an| =vd2/r vyplýva z |an| = vd2/R, ostatné je dosadené zhora
  • |a| ==
    Prvý vzorec vyplýva zo vzorca pre skladanie vektorov zvierajúcich pravý uhol, druhý z dosadenia |at| a |an|.
  • r = (r.cosϕ, r.sinϕ)
    Toto vyplýva zo vzorca pre cos a pre sin v pravouhlom trojuholníku, ak je referenčný polohový vektor (teda polohový vektor s ϕ=0) x-osová os.
  • v = r.ω.τ =vd.τ=ω x r
    Vzorec v = r.ω.τ vyplýva zo spojenia vzorcov v=dr/dt a r = (r.cosϕ, r.sinϕ). Vzorec v = ω x r dostaneme tak, že do v = r.ω.τ dosadíme vzorec τ = τω x (-τn), čo je všeobecný vzorec pre prípady, keď vektory majú takú vzájomnú polohu, akú majú v našom prípade vektory τ, τω a (-τn).
  • at = r.α.τ = α x r (presnejšie: at = |r.α|.τ)
    Pozri nižšie pre a.
  • an = r.ω2. τn = -r2 = vd.ω. τn =(vd2/r).τn = ω x v= ω x (ω x r)
    Pozri nižšie pre a.
  • a = r. α.τ + r.ω2.τn = r. α.τ -r2 = r. α.τ + vd.ω.τn = r. α.τ + (vd2/r).τn =(α x r)+(ω x v)=(α x r)+(ω x (ω x r)) (presnejšie je vo vzorcoch |r.α| namiesto r. α)
    Prvé tri vzorce vyplývajú z a = dv/dt alebo alternatívne z a = at + an = |at|.τ + |an|.τn (V druhom vzorci je využitý vzťah r. τn = -r). Vzorec a=(α x r)+(ω x v) je výsledok výpočtu a=d(ω x r)/dt a následného dosadenia α = dω/dt a v=dr/dt (Vektorový súčin sa derivuje podľa vzorca pre deriváciu normálneho súčinu, ale namiesto znaku „.“ je vo vzorci znak „x“ a na rozdiel od derivácie normálneho súčinu sa musí dodržať poradie výrazov[3]). V poslednom vzorci bolo už len dosadené v = ω x r
  • ω = ω. τω = (1/r2).(r x v)
    Prvý vzorec je všeobecné vyjadrenie vektora ako súčinu jeho veľkosti a jednotkového vektora. Vzorec ω = (1/r2).(r x v) vyplýva zo vzorca v = ω x r.
  • α = α. (+/-τω)= (1/r2).(r x a) = (1/r2).(r x ((α x r)+(ω x (ω x r)))
    Prvý vzorec je všeobecné vyjadrenie vektora ako súčinu jeho veľkosti a jednotkového vektora. Vzorec α = (1/r2).(r x a) je výsledok výpočtu α =d((1/r2).(r x v))/dt (t.j. α = (1/r2).(d(r x v)/dt)) a následného dosadenia v=dr/dt a a=dv/dt. V poslednom vzorci bolo už len dosadené a = (α x r)+(ω x (ω x r)

Podtypy

Tak ako každý pohyb hmotného bodu, aj pohyb hmotného bodu po kružnici možno rozdeliť na rovnomerný pohyb, rovnomerne premenný pohyb a nerovnomerne premenný pohyb (pričom výraz nerovnomerný pohyb je v širšom zmysle súhrnné označenie pre rovnomerne premenný a nerovnomerne premenný pohyb a v užšom zmysle len označenie pre nerovnomerne premenný pohyb).

Rovnomerný pohyb po kružnici

Iné názvy: pohyb po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou, pohyb po kružnici s konštantnou veľkosťou (obvodovej) rýchlosti

Výraz “rovnomerný” (teda “konštantnú veľkosť rýchlosti majúci”) v názve tohto pohybu sa dá vztiahnuť tak na uhlové ako aj na obvodové veličiny, pretože tento pohyb je definovaný ako pohyb, pri ktorom platí:

  • z hľadiska uhlových veličín je ω (resp. ω) konštantné [pozn 1](čiže ω = ω0, inak povedané α = 0) resp.
  • z hľadiska obvodových veličín je |v| (t.j. vd) konštantné (čiže vd=vd,0, inak povedané |at|=0) a |an| je tiež konštantné.

Celkovo má tento pohyb tieto vlastnosti (porov. aj vzorce nižšie):

  • uhlové veličiny:
    • ω (čiže|ω|) a ω je konštantné (čiže ide o pohyb s konštantnou veľkosťou uhlovej rýchlosti a pohyb s konštantnou uhlovou rýchlosťou)
    • α = 0, α je nulové
  • obvodové veličiny:
    • |v| (čiže vd) je konštantné, ale v sa mení (čiže ide o pohyb s konštantnou veľkosťou (obvodovej) rýchlosti , ale s meniacou sa (obvodovou) rýchlosťou)
    • |at|=0 (čiže ad =0), at je nulové
    • |a| (= |an|) je konštantné, ale a (=an) sa mení

Pre skalárne veličiny platí:

  • ϕ = ϕ0 + ω0.Δt
    Toto vyplýva z integrovania vzorca ω=dϕ/dt ak je ω konštantné
  • ω = ω0=Δϕ/Δt =2π/T = 2πf (ak ϕ0 = 0: ω = ω0= ϕ/Δt)
    ω = ω0 je východiskový predpoklad. Vzorec ω0= Δϕ/Δt je len úprava vzorca ϕ = ϕ0 + ω0.Δt (ale vyplýva aj logicky z predpokladu, že ω je konštantné). Vzorec ω0=2π/T vyplýva zo spojenia vzorcov ω0= Δϕ/Δt a Δϕ = Δs/r a Δs=2πr a Δt=T. Vzorec ω0=2πf vyplýva zo spojenia vzorcov ω0=2π/T a f=1/T.
  • α=0
    Toto je východiskový predpoklad.
  • |v| = |v0| =vd = vd,0 =r. ω0 =2πr/T = Δs/Δt (Keďže presnejšie je +/-|v| = vd, tak presnejšie by malo byť: |v| = |vd| = |vd,0| =|r. ω0| =|2πr/T| = |Δs|/Δt )
    Vzorec vd = vd,0 =r. ω0 vyplýva zo spojenia vzorcov vd = r. ω a ω = ω0 . Vzorec vd =2πr/T vyplýva buď zo spojenia vzorcov vd = r. ω0 a ω0=2π/T, alebo z integrovania vzorca vd=ds/dt, čím dostaneme vd,0=Δs/Δt (teda vd,p), a následného dosadenia Δs=2πr a Δt=T. Vzorec |v| = |Δs|/Δt platí všeobecne pre pohyb s konštatným |v|.
  • |at| =ad = 0
    Keďže |at| = r.α a α= 0.
  • |an|=|an,0|= vd,02/r=r.ω02=vd,00
    Vzorec sme získali dosadením vd,0 a ω0 do vyššie uvedených vzorcov pre |an|.
  • |a| =|a0| = |an|
    Toto je dosadenie do vzorca |a| == .
  • s = s0 + r. ω0.Δt = s0 + |v0|.Δt (presnejšie: s=s0+/-r.ω0.Δt=s0+/-|v0|.Δt)
    Vzorec s = s0 + r. ω0.Δt vyplýva zo spojenia vzorcov s = s0 + r. (ϕ- ϕ0) a ϕ = ϕ0 + ω0.Δt. Vzorec s =s0 + |v0|.Δt vyplýva z následného dosadenia vzorca|v0|=r. ω0, ale možno ho alternatívne odvodiť aj ako všeobecne platný vzorec pre rovnomerný pohyb (t.j. pre ľubovoľný pohyb s konštantným |v|).

Rovnomerne premenný (t.j. rovnomerne zrýchlený alebo spomalený) pohyb po kružnici

Iné názvy: pohyb po kružnici s konštantným uhlovým zrýchlením, pohyb po kružnici s konštantnou veľkosťou tangenciálneho zrýchlenia :

Výraz “rovnomerne premenný” v názve tohto pohybu sa dá vztiahnuť tak na uhlové ako aj na obvodové veličiny, pretože tento pohyb je definovaný ako pohyb, pri ktorom platí:

  • z hľadiska uhlových veličín je α (resp. α) konštantné [pozn 2] a nenulové (čiže α = α0 ≠0), resp.
  • z hľadiska obvodových veličín je |at|(čiže ad) konštantné a nenulové (čiže |at| = |at,0|≠0 resp. ad =ad,0 ≠0).

Celkovo má tento pohyb tieto vlastnosti (porov. aj vzorce nižšie):

  • uhlové veličiny:
    • ω (čiže|ω|) a ω sa mení
    • α a α je konštantné a nerovné nule (čiže ide o pohyb s konštantnou veľkosťou uhlového zrýchlenia a pohyb s konštantným uhlovým zrýchlením)
  • obvodové veličiny:
    • |v| (čiže vd) a v sa mení
    • |at| (čiže ad) je konštantné a nerovné nule, ale at sa mení (čiže ide o pohyb s konštantnou veľkosťou tangenciálneho zrýchlenia )
    • |an| a an sa mení
    • |a| a a sa mení

Ak je α >0 (t.j. vektory α a ω majú rovnakú orientáciu), hovoríme o rovnomerne zrýchlenom pohybe, v opačnom prípade o rovnomerne spomalenom pohybe.

Pred uvedením vzorcov, je najprv je potrebný nasledujúci úvodný výpočet: Integrovaním vzorca α = dω/dt dostaneme ω = ω00.Δt. Integrovaním vzorca ω = dϕ/dt (t.j. ω00.Δt = dϕ/dt) dostaneme ϕ = ϕ0 + ω0.Δt + α0.Δt2/2. Spojením tohto posledného vzorca s predchádzajúcim vzorcom ω = ω00.Δt dostaneme ω =((ω02-2.α00) + 2.α0. ϕ)1/2. Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.


Zdroj: Wikipedia.org - čítajte viac o Pohyb po kružnici





Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

Your browser doesn’t support the object tag.

www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk