Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.

Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic ${\displaystyle \mathbf {q} }$, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\sum _{k=1}^{D}\left(h_{k}\mathrm {d} q_{k}\right)^{2}}$,

kde ${\displaystyle D}$ je dimenze prostoru a funkce ${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}}$ (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru ${\displaystyle g_{ik}(\mathbf {q} )}$.

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice ${\displaystyle \mathrm {d} q_{m}}$ jako ${\displaystyle \mathrm {d} s_{m}=h_{k}\mathrm {d} q_{k}}$. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru ${\displaystyle \mathbf {r} }$ jako

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}h_{k}\mathrm {d} q_{k}\mathbf {e} _{k}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic ${\displaystyle q_{k}}$. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{k=1}^{D}A_{k}B_{k}}$

Tedy např. integrál po křivce ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ má v ortogonálních souřadnicích tvar

${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}\int _{\mathcal {C}}F_{k}h_{k}\mathrm {d} q_{k}}$,

kde ${\displaystyle F_{k}}$ je složka vektoru ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ve směru ${\displaystyle k}$-tého jednotkového vektoru ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle F_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {F} }$

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát ${\displaystyle \mathrm {d} P=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}=h_{i}h_{j}\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}}$, kde ${\displaystyle i\neq j}$, a pro infinitezimální element objemu ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}\mathrm {d} s_{k}=h\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}\mathrm {d} q_{k}}$, kde ${\displaystyle h\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{i}h_{j}h_{k}}$ a ${\displaystyle i\neq j\neq k}$. Např. integrál přes plochu ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{d}\mathbf{S}={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathcal{S}}{F}_1{h}_2{h}_3\mathrm{d}{q}_2\mathrm{d}{q}_3+{\int <!--\; \int \; -->}_{}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Ortogonální_soustava_souřadnic
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---