Tomuto článku alebo sekcii chýbajú odkazy na spoľahlivé zdroje, môže preto obsahovať informácie, ktoré je potrebné ešte overiť. Pomôžte Wikipédii a doplňte do článku citácie, odkazy na spoľahlivé zdroje.

Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica ${\displaystyle n}$-tého rádu je rovnica tvaru

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}(x)y'(x)+a_{n}(x)y(x)=f(x),\!}$

kde funkcie ${\displaystyle a_{i},\ i=1,2,\dots ,n;\ f}$ sú zadané. Špeciálnym prípadom takej rovnice je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR). Ľavá strana tejto diferenciálnej rovnice sa zvykne značiť takto

${\displaystyle (L_{n}y)(x),}$

a priradenie ${\displaystyle y\mapsto L_{n}y}$ voláme lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. V prípade, že ${\displaystyle f=0}$ hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici.

Ide o rovnicu

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=0,\!}$

ktorej koeficienty sú konštanty. Už Euler si všimol, že exponenciálna funkcia ${\displaystyle x\mapsto e^{rx}}$ s vhodným ${\displaystyle r}$ je riešením tejto rovnice. Dosadením do rovnice dostaneme podmienku na číslo ${\displaystyle r}$, ktorú voláme charakteristická rovnica

${\displaystyle r^{n}+a_{1}r^{n-1}+a_{2}r^{n-2}+\dots +a_{n-1}r+a_{n}=0,\!}$

čo je algebrická rovnica stupňa ${\displaystyle n}$, ktorá má podľa základnej vety algebry práve ${\displaystyle n}$ koreňov ak počítame aj ich násobnosť. Rozoznávame dva prípady:

• ak sú korene ${\displaystyle r}$ charakteristickej rovnice jednoduché, tak týmto postupom získame ${\displaystyle n}$ lineárne nezávislých riešení
• ak je niektorý koreň ${\displaystyle {\hat {r}}}$ charakteristickej rovnice ${\displaystyle k}$-násobný, tak potom funkcie ${\displaystyle x\mapsto x^{m}e^{{\hat {r}}x},\ m=0,1,2,\dots ,k-1}$ (je to ${\displaystyle k}$ lineárne nezávislých funkcií) sú riešením diferenciálnej rovnice.

V každom prípade takto získame práve ${\displaystyle n}$ lineárne nezávislých riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice ${\displaystyle n}$-tého rádu s konštantnými koeficientami.

Ak sú koeficienty ${\displaystyle a_{i},\ i=1,2,\dots ,n}$ reálne čísla, tak spolu s koreňom ${\displaystyle {\hat {r}}}$ má charakteristická rovnica aj koreň komplexne združený ${\displaystyle {\hat {r}}^{\star }}$. V tomto prípade z koreňov ${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {r}}^{\star }}$ máme 2 reálne funkcie

${\displaystyle x\mapsto e^{ax}\cos(bx),\ x\mapsto e^{ax}\sin(bx),\!}$

kde ${\displaystyle {\hat {r}}=a+ib,\ a,b\in \mathbb {R} .}$ V prípade, že uvedený koreň je viacnásobný, tak sa pridávajú násobky trigonometrických funkcií mocninou nezávisle premennej.