Metóda integrovania per partes sa využíva na integrovanie súčinu funkcií. Integrovanie touto metódou sa v preklade nazýva aj integrovanie (integrácia) po častiach.

Základné pravidlo je takéto:

${\displaystyle \int u^{'}(x)v(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u(x)v^{'}(x)\,dx}$

kde u a v sú funkcie derivované na intervale (a; b).

Príklady

Postup

Riešenie integrálov metódou per partes by sa dalo označiť za proces viac skusmý ako čisto mechanický. Zvyčajne sa na začiatku daná funkcia opatrne rozdelí na súčin dvoch funkcií u(x)v(x). A to tak, aby výsledný integrál, ktorý vznikne postupom per partes, bolo možné vyriešiť jednoduchšie ako pôvodnú funkciu v celku. Nižšie uvedený vzorec popisuje najefektívnejší postup:

${\displaystyle \int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.}$

Možno si povšimnúť, že na pravej strane je u derivované a v integrované. Je teda výhodné zvoliť za u funkciu, ktorá sa derivovaním zjednoduší alebo za v vybrať funkciu, ktorá sa zase zjednoduší integrovaním. Ako jednoduchý príklad uvažujme:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}$

Pretože derivácia ln(x) je ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$, označíme (ln(x)) ako u. A nakoľko integrál z ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{2}}}}$ je ${\displaystyle -{\tfrac {1}{x}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{2}}}dx}$ označíme ako dv. Situácia je teraz nasledovná:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}$

Integrál z ${\displaystyle -{\tfrac {1}{x^{2}}}}$ možno nájsť pomocou pravidla mocniny, čo sa bude rovnať ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$.

Možnou alternatívou je aj voľba u a v takým spôsobom, že výsledok u' (∫v dx) sa zjednoduší vykrátením. Uvažujme napríklad tento integrál:

${\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.}$

Ak zvolíme u(x) = ln(|sin(x)|) a v(x) = 1/cos²x, potom derivované u bude 1/tan x použitím reťazového pravidla a v sa integruje na tan x. Výsledok teda bude

${\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}$

Integrand sa vykráti na 1, teda integrál bude rovný x. Hľadanie kombinácií vhodných na zjednodušenie si často vyžaduje istú dávku experimentovania.

V niektorých prípadoch nemusí byť potrebné, aby bol integrál, ktorý vznikol pomocou per partes, v čo najjednoduchšom tvare. Napríklad v numerickej matematike môže postačovať, že má malú veľkosť, a teda k výslednému odhadu prispieva len malou chybou. Niektoré iné špeciálne techniky sú predvedené na nižšie uvedených príkladoch.

Polynomické a goniometrické funkcie

Pre výpočet

${\displaystyle I=\int x\cos(x)\ dx\ ,}$

nech:

${\displaystyle u=x\ \Rightarrow \ du=dx}$

${\displaystyle dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)}$

potom:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}\!}$

kde C je integračná konštanta.

Pre vyššie mocniny x v tvare

${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\ ,}$

možno integrál vyčísliť opakovaným použitím metódy per partes. Každým použitím tejto metódy sa mocnina x zníži o jeden stupeň.

Exponenciálne a goniometrické funkcie

Často využívaný príklad spôsobu integrovania per partes je

${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

V tomto príklade je integrovanie per partes použité dvakrát. Najprv nech

${\displaystyle {\displaystyle u=\cos <!--\; \; -->}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---