A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Tomuto článku alebo sekcii chýbajú odkazy na spoľahlivé zdroje, môže preto obsahovať informácie, ktoré je potrebné ešte overiť. Pomôžte Wikipédii a doplňte do článku citácie, odkazy na spoľahlivé zdroje. |
Lagrangeova veta je základné tvrdenie z teórie grúp, ktorého dôsledkom je, že rád každého prvku či podgrupy delí rád grupy. To znamená, že napríklad grupa rádu 15 môže mať prvky rádu 1, 3, 5 a 15, ale nie napríklad 7. Veta nesie meno význačného matematika, Josepha Louisa Lagrangea.
Presné znenie
Pre grupu G a jej podgrupu H platí:
, kde |X| značí rád grupy X a index grupy (počet ľavých cosetov H v G).
Dôkaz
Najskôr ukážeme, že ľavé cosety tvoria dohromady pre rozklad množiny G. Pretože , nepochybne ľavé cosety obsahujú všetky prvky G. Aby sme ukázali, že neobsahujú žiadny prvok dvakrát, predpokladajme naopak pre nejaké . Inými slovami pre nejaké musí byť . Vynásobením na pravej strane prvkom dostaneme . Pre jednoduchosť vykonáme substitúciu . Vzhľadom na definíciu podgrupy , a preto . , pretože tiež , a teda každý prvok v yH je obsiahnutý v xH. Symetrickým postupom by sme získali , a preto . Z čoho plynie, že cosety gH tvoria rozklad G. Aby sme ukázali, že rád všetkých cosetov je totožný, nájdeme bijektívne zobrazenie f z H na xH pre . Definujme f predpisom
- Dôkaz injektivity: Predpokladajme . . Obe strany vynásobíme zľava prvkom
- Surjektivita je zrejmá z definície.
značí celkový počet všetkých (či už ľavých alebo pravých) cosetov. Ako už sme ukázali, Cosette tvorí rozklad množiny G a každý z nich má rovnaký rád |H|. Z týchto skutočností vyplýva .
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Dôkaz (matematika)
Euklidova veta
Gödelova veta o neúplnosti
Gaussova veta
Greenova-Taova veta
Herónov vzorec
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk