Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoru

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii ${\displaystyle V(x)}$, která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál ${\displaystyle V(x)}$ zapíšeme jako

${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,,}$

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,.}$

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)}$

Vynásobíme-li celou rovnici ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar \omega }}}$ , získáme

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\Psi (x)={\frac {2E}{\hbar \omega }}\Psi (x)}$

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\,,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2E}{\hbar \omega }}\,,}$

rovnice přejde ve tvar

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\right)\Psi (\xi )=-\lambda \Psi (\xi )\,.}$

Po úpravě dostaneme

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}+(\lambda -\xi ^{2})\Psi (\xi )=0\,.}$

Odhad řešení v asymptotické oblasti

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci ${\displaystyle \Psi }$ budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce ${\displaystyle \Psi }$ v asymptotické oblasti ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$. Pro hodnoty ${\displaystyle \xi \to \pm \infty }$ lze ${\displaystyle \lambda }$ v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\Psi (\xi )=0\,.}$

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou libovolné konstanty.

${\displaystyle \Psi (\xi )=A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}})+B\exp({\frac {\xi ^{2}}{2}}).}$

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce ${\displaystyle \Psi }$ diverguje pro ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$ a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

${\displaystyle \Psi (\xi )\approx A\exp({\frac {-\xi ^{2}}{2}}).}$

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty ${\displaystyle \xi }$, znamená předpokládat, že ${\displaystyle A}$ na ${\displaystyle \xi }$ závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \Psi(\xi) = A(\xi) \exp (-\frac{\xi^2}{2} )\,,}

kde ${\displaystyle A(\xi )}$ je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu ${\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)}$ dosazením předešlé rovnice pro ${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Kvantový_harmonický_oscilátor
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.