Koule je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů (trojrozměrného euklidovského) prostoru, jejichž vzdálenost od zadaného bodu (středu) je nejvýše rovna zadanému poloměru. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféra nebo sférická plocha). Pojmy koule a sféry se tedy v matematice na rozdíl od běžné řeči obvykle rozlišují. Pro označení „vnitřku“ koule, tedy pro kouli bez jejího povrchu, se používá označení otevřená koule.

Pojem koule a s ním související pojmy lze zobecnit na každý metrický prostor s metrikou (vzdáleností) ρ. Je-li x prvek metrického prostoru a r > 0 reálné číslo, tak koule se středem x a poloměrem r je množina všech bodů tohoto prostoru y vyhovujících podmínce

${\displaystyle K=\{y\in P:\rho (y,x)\leq r\},}$

sféra se stejným středem a poloměrem je

${\displaystyle S=\{y\in P:\rho (y,x)=r\}}$

a otevřená koule je

${\displaystyle B=\{y\in P:\rho (y,x)<r\}.}$

Vlastnosti

• Koule je velmi symetrická: středově (podle středu), osově a rovinově podle libovolné přímky, resp. roviny procházející středem.
• Objem: ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• Povrch: ${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$
• Průmět: ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$
• Kulová výseč: ${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi r^{2}v}$
• Kulová vrstva: ${\displaystyle V={\frac {\pi r_{1}^{2}v}{2}}+{\frac {\pi r_{2}^{2}v}{2}}+{\frac {\pi v^{3}}{6}}}$
• Objem kulové úseče: ${\displaystyle V={\frac {\pi r_{1}^{2}v}{2}}+{\frac {\pi v^{3}}{6}}}$

• Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší obsah a naopak, mezi plochami s daným obsahem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě kapek a bublin, jejichž povrch je minimalizován povrchovým napětím.
• Koule je rotační těleso, může vzniknout otáčením kruhu podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela elipsa, vznikl by rotační elipsoid.
• Válec opsaný kouli má povrch i objem rovný 3/2 povrchu, resp. objemu koule.
• Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí sférické geometrie.
• Koule s různými poloměry a shodnými středy se označují jako soustředné (koncentrické) koule.

Odvození vzorce pro povrch a objem koule

Povrch

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a,b> a má zde spojitou derivaci f'(x). Potom pro obsah rotační plochy vzniklé rotací kolem osy x platí:

${\displaystyle S=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+^{2}}}dx}$

Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ >>> vyjádříme y:

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.

${\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1+(-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}dx}$

Po úpravách dostáváme:

${\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}dx}$

${\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}rdx}$ - integrujeme:

${\displaystyle S=2\pi _{-r}^{r}}$ - odečítáme dolní hodnotu od horní:

${\displaystyle S=2\pi r^{2}-(-2\pi r^{2})=4\pi r^{2}}$

Objem

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a;b> a nechť T je těleso v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, které vznikne rotací grafu f(x) kolem osy x. Potom pro objem tělesa T je dán vzorcem:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}(f(x))^{2}dx}$

Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ >>> vyjádříme y:

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.

${\displaystyle V=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->r}^r(\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->x^2}{)}^2}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Koule
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---