Keplerova rovnice je transcendentní rovnice pro výpočet pohybu nebeských těles po eliptické dráze. Je důsledkem prvních dvou Keplerových zákonů, které Johannes Kepler publikoval roku 1609, a zní

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$.

Keplerova rovnice popisuje vztah mezi polohou nebeského objektu vůči hmotnému středu v jednom z ohnisek elipsy udanou ve formě pomocné veličiny excentrické anomálie ${\displaystyle E}$, a času zadaného pomocí střední anomálie ${\displaystyle M}$. Parametr ${\displaystyle e}$ je numerická excentricita eliptické oběžné dráhy.

Keplerova rovnice se používá např. při výpočtu časové rovnice (tj. rozdílu mezi středním slunečním časem a skutečným slunečním časem). Dílčí úlohou je stanovit pravou anomálii Země na její dráze kolem Slunce.

Stručně

Mějme souřadnicový systém s počátkem ve Slunci a osou x mířící k perihelu. Pak lze tuto trajektorii parametrizovat

${\displaystyle x=a(\cos E-e.a)}$

${\displaystyle y=b\sin E}$,

kde ${\displaystyle a}$ a je hlavní poloosa elipsy, ${\displaystyle b}$ vedlejší poloosa elipsy, ${\displaystyle e}$ je numerická excentricita, ${\displaystyle e.a}$ je vzdálenost ohniska od středu elipsy, úhel ${\displaystyle E}$ je excentrická anomálie.

Keplerova rovnice má pak tvar:

${\displaystyle E-e\sin E={\frac {2\pi }{U}}(t-t_{P})}$

Kde ${\displaystyle U}$ perioda oběhu a ${\displaystyle t_{P}}$ čas průchodu perihelem. Konečně ${\displaystyle t}$ je čas, ve kterém se zajímáme o polohu planety. Pravou stranu poslední rovnice nazýváme střední anomálie a značíme ${\displaystyle M}$.

Odvození

Druhý Keplerův zákon zvaný též zákon ploch, vyplývá ze zachování momentu hybnosti v problému dvou těles, který se v astronomii nazývá také Keplerův problém. Předpokládá, že na nebeský objekt ${\displaystyle \mathrm {P} }$ působí pouze radiální síla z hmotného středu ${\displaystyle \mathrm {S} }$. Tato síla podléhá zákonu převrácených čtverců (je úměrná ${\displaystyle 1/r^{2}}$, stejně jako Newtonovská gravitační síla), což znamená, že celkový tok síly všemi kulovými plochami se středem ${\displaystyle \mathrm {S} }$ je stejný (tj. nezávislý na poloměru koule ${\displaystyle r}$). Za těchto podmínek je podle prvního Keplerova zákona dráha planety kuželosečka. Keplerova rovnice je vzorec vyjadřující větu o zákonu ploch pro eliptickou dráhu. Ve vzorci je zakomponován čas ${\displaystyle t}$ ve formě střední anomálie ${\displaystyle M}$ (tak nazvané Keplerem) a poloha astronomického objektu ${\displaystyle \mathrm {P} }$ na své oběžné dráze (keplerovské elipse) ve formě (Keplerem tak nazvané) pravé anomálie ${\displaystyle T}$, tj. jejich úhlová vzdálenost od periapsidy ${\displaystyle \mathrm {Z} }$, (prostřednictvím pomocné veličiny zvané excentrické anomálie ${\displaystyle E}$) v jednoznačně definovaném vztahu.

Veličina ${\displaystyle e}$ je numerická excentricita elipsy.

Použití střední anomálie

Rovnoměrné plynutí času lze vyjádřit pohybem fiktivní tělesa (na obrázku ${\displaystyle \mathrm {Y} }$) po kruhové dráze s konstantní úhlovou rychlostí. K tomuto účelu se používá „kružnice opsaná“ kolem keplerovské elipsy, po které obíhá ${\displaystyle \mathrm {Y} }$. ${\displaystyle t_{P}}$ je okamžik, kdy se jak bod ${\displaystyle \mathrm {Y} }$ tak skutečný objekt ${\displaystyle \mathrm {P} }$ nachází v periapsidě ${\displaystyle \mathrm {Z} }$. Oba body mají tutéž oběžnou dobu a oba současně procházejí při každém celočíselném násobku oběžné doby periapsidou a při každém polovičním násobku apoapsidou.

Okamžitá poloha bodu ${\displaystyle }$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Keplerova_rovnice
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.