Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, která spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa, mezi nimiž působí gravitační síla

Mějme tělesa o hmotnostech ${\displaystyle m_{1}}$ a ${\displaystyle m_{2}}$. Velikost síly, kterou se přitahují, je dána vztahem

${\displaystyle F={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle G}$ je gravitační konstanta a ${\displaystyle r}$ vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

${\displaystyle V=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}$.

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

${\displaystyle L=T-V={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {x}}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {x}}_{2}^{2}+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{x}_{2}-{x}_{1}|}}}$,

kde ${\displaystyle {x}_{1}}$ a ${\displaystyle {x}_{2}}$ jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě. Zavedeme tedy nové proměnné

${\displaystyle {X}={\frac {m_{1}{x}_{1}+m_{2}{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$,

${\displaystyle {x}={x}_{1}-{x}_{2}}$,

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {x}}^{2}+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{x}|}}}$,

kde

${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$

a

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$.

Zde je zřejmé, že proměnná ${\displaystyle {X}}$ je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz ${\displaystyle M{\dot {X}}}$ integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}$.

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že ${\displaystyle \theta =90}$ a ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$, pak pro další časy ${\displaystyle \theta }$ zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině ${\displaystyle z=0}$). Lagrangián má pak tvar

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}$ ,

což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic) tvaru

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {GM}{r}}}$ .

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

${\displaystyle r^{2}{\dot {\varphi }}=l}$ ,

${\displaystyle \stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{r}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Keplerova_úloha
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.