Hotellingovo rozdelenie (iné názvy: Hotellingovo pravdepodobnostné rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie pravdepodobnosti, Hotellingovo ${\displaystyle T^{2}}$-rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie ${\displaystyle T^{2}}$, Hotellingovo rozdelenie T, Hotellingovo ${\displaystyle T^{2}}$, Hotellingovo T, Hotellingovo zovšeobecnené Studentovo rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Hottelingovo rozdelenie je zovšeobecnením Studentovho t-rozdelenia pre ${\displaystyle p}$-rozmerný priestor.

Hotellingovo ${\displaystyle T^{2}}$ rozdelenie má v matematickej štatistike významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz, vo viacrozmerných štatistických analýzach. Rozdelenie je pomenované podľa matematikovi Haroldovi Hotellingovi.

Definícia

Majme štvorcovú regulárnu maticu A ${\displaystyle p}$-teho stupňa a ${\displaystyle p}$-rozmerný vektor b. Nech má táto matica ${\displaystyle p}$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s ${\displaystyle m}$ stupňami voľnosti, teda: ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W_{p}({\mathbf {I} },m)}$ a daný vektor nech má p-rozmerné normálne rozdelenie, teda: ${\displaystyle {\mathbf {b} }\sim N_{p}({\mathbf {0} },{\mathbf {I} })}$. Potom premenná ${\displaystyle \alpha }$ definovaná vzťahom:

${\displaystyle \alpha =m{\mathbf {b} ^{\prime }}{\mathbf {A} }^{-1}{\mathbf {b} }}$

má Hotellingovo ${\displaystyle T^{2}}$ rozdelenie s parametrami ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle m}$.

Označenie:

• ${\displaystyle \operatorname {\alpha } \sim T^{2}(p,m)}$

Ďalšie vzťahy

Majme matice A a B, pričom A má ${\displaystyle p}$-rozmerné normálne rozdelenie s parametrami ${\displaystyle {\mathbf {\mu } }}$ a ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ a B nech má ${\displaystyle p}$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s parametrom ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ a ${\displaystyle m}$ stupňami voľnosti, teda: ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim N_{p}({\mathbf {\mu } },{\mathbf {\Sigma } })}$ a ${\displaystyle {\mathbf {B} }\sim W_{p}({\mathbf {\Sigma } },m)}$, pričom A a B sú nezávislé. Potom premenná vyjadrená nasledovným vzťahom:

${\displaystyle Y=m({\mathbf {A} }-{\mathbf {\mu } })^{\prime }{\mathbf {B} }^{-1}({\mathbf {A} }-{\mathbf {\mu } })}$

má Hotellingovo ${\displaystyle T^{2}}$ rozdelenie s parametrami ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle m}$.

Existuje vzťah medzi Hotellingovým ${\displaystyle T^{2}}$ rozdelením a Fisherovým-Snedecorovým rozdelením, a to:

${\displaystyle T^{2}(p,m)={\frac {mp}{m-p+1}}F(p,m-p+1)}$

Teda z uvedeného vzťahu vidíme, že pokiaľ položíme parameter p = 1, tak dostávame rovnosť medzi týmito dvomi rozdeleniami, teda:

${\displaystyle \operatorname {T} ^{2}(1,m)=F(1,m)}$

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hotelling's T-squared distribution na anglickej Wikipédii.