Herónov vzorec

Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.

Vzorec

Ak sú $a,b,c$ dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah $S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ , kde $s={\frac {a+b+c}{2}}$ je polovičný obvod trojuholníka.

Dôkaz

Označme $x$ vzdialenosť vrcholu $B$ od päty kolmice z vrcholu $A$ na stranu $a$ (výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:

$\ x^{2}+v^{2}=c^{2}$

$\ (a-x)^{2}+v^{2}=b^{2}$

Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:

$\ a^{2}-2ax=b^{2}-c^{2}$

Z tohto vzťahu vyjadríme $x$ :

$x={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}$

Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto $-$ dáva $+$ (viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme $x$ , získame výšku $v$ :

$\ v^{2}=c^{2}-x^{2}$

$v^{2}=c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}}\right)^{2}$

$v^{2}=c^{2}-{\frac {\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v^{2}={\frac {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}{4a^{2}}}$

$v={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{2a}}$

Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka $S={\frac {av}{2}},$ , dostaneme:

$S={\frac {\sqrt {4c^{2}a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)^{2}}}{4}}$

Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:

$S={\frac {\sqrt {\left(2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)\left(2ac-a^{2}-c^{2}+b^{2}\right)}}{4}}$

$S={\frac {\sqrt {\left\left}}{4}}$