V matematike sa pojmom faktoriál prirodzeného čísla ${\displaystyle n}$ označuje súčin všetkých prirodzených čísel od ${\displaystyle n}$ po 1. Zapisuje sa ${\displaystyle n!}$ a číta sa „n faktoriál“. Napríklad:

${\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120}$

Definícia

Faktoriál kladného celého čísla ${\displaystyle n}$ je definovaný vzťahom:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k}$

Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie ${\displaystyle 0!=1}$.

Kombinatorické súvislosti

Faktoriál čísla ${\displaystyle n}$ sa rovná počtu rôznych permutácii ${\displaystyle n}$-prvkovej množiny.

Asymptotické vlastnosti

Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už ${\displaystyle 70!}$ predstavuje približne číslo 1,197·10¹⁰⁰ čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.

Algoritmické implementácie

Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:

 function faktorial(n)
     if n = 0
         then return 1
         else return n * faktorial(n - 1)

Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:

 long double faktorial (int n) {
     long double b = 1;
     while (n--)
          b*=n+1;
     return b;
 }

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, označený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{pre }}n=0{\mbox{ alebo }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{pre }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

Napríklad 8!! = 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 384, 9!! = 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 945.

Postupnosť dvojitých faktoriálov čísel 0, 1, 2, … začína

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

Okrem dvojitého faktoriálu môžeme túto ideu zovšeobecniť na (už nie príliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atď. (všeobecne n!^(k)).

Externé odkazy

• Výpočet faktoriálu (0≤N≤40000)
• Faktoriál

Tento článok týkajúci sa matematiky je zatiaľ „výhonok“. Pomôž Wikipédii tým, že ho doplníš a rozšíriš.