Sedem mostov mesta Kaliningrad zobrazených ako graf

V teórii grafov sa termínom eulerovský ťah označuje taký ťah, ktorý obsahuje každú hranu grafu práve jeden krát. Zaviedol ho Leonhard Euler, keď sa v roku 1736 pokúšal vyriešiť slávny problém siedmych mostov cez Pregoľu v Kráľovci (nem. Königsberg, dnešný Kaliningrad) vo Východnom Prusku.

Ak existuje v grafe uzavrený eulerovský ťah, nazývame tento graf taktiež eulerovský.^[1] Eulerovské grafy je možné nakresliť „jedným ťahom“. Eulerovské grafy majú každý vrchol párneho stupňa.^[2]

Definícia

Eulerovský ťah v neorientovanom grafe je taký ťah v ktorom použijeme každú hranu práve raz. Ak takýto ťah existuje graf voláme „prejazdný“ alebo semi-eulerovský.^[3]

Ak je ${\displaystyle G=(V,E)}$ neorientovaný graf a ${\displaystyle P=(v_{0},e_{1},v_{1},\ldots ,e_{n},v_{m})}$ postupnosť, pre ktorú platí, že ${\displaystyle \left|E\right|=n{\mbox{ a }}\forall i,j=1,\ldots ,n\;,i\neq j\;:e_{i}\neq e_{j}\;}$, nazývame túto postupnosť eulerovským ťahom. Ak je ${\displaystyle v_{0}=v_{m}}$, nazývame tento ťah uzavretým.

Vlastnosti

• neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a každý jeho vrchol má párny stupeň,
• neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a ak má práve 2 vrcholy nepárneho stupňa (eulerov ťah bude potom otvorený),
• neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a ide ho rozložiť na hranovo disjunktné cykly.

Referencie

1. ↑ Základní pojmy z teorie grafů.
2. ↑ C. L. Mallows, N. J. A. Sloane. Two-graphs, switching classes and Euler graphs are equal in number. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1975, s. 876–880. DOI: 10.1137/0128070.
3. ↑ Jun-ichi Yamaguchi, Introduction of Graph Theory.