Dvojčlen alebo binóm alebo mnohočlen s dvoma členmi je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. ${\displaystyle 2b+5ab}$. Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy ${\displaystyle (a+b)}$ a ${\displaystyle (a-b)}$, pričom ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny. ${\displaystyle (a+b)}$, ${\displaystyle (4a-9b)}$, ${\displaystyle (x-3y)}$,${\displaystyle (3(7x-5)-2y)}$

V príklade ${\displaystyle (4a-9b)}$ sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to ${\displaystyle 4\cdot c}$ (prvý člen dvojčlenu) a ${\displaystyle 9\cdot c}$ (druhý člen dvojčlenu). V poslednom príklade ${\displaystyle (3(7x-5)-2y)}$ je prvým členom výraz ${\displaystyle (3(7x-5)}$ a druhým členom je výraz ${\displaystyle 2y}$.

Stupeň dvojčlenu

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.

${\displaystyle (a+3)^{2}}$ , ${\displaystyle (4a-9b)^{2}}$ , ${\displaystyle (3(7x-5)-2y)^{2}}$ sú dvojčleny stupňa 2.

${\displaystyle (x-3y)^{3}}$ je dvojčlenom stupňa 3.

${\displaystyle (x^{2}+5y^{6})^{4}}$ je dvojčlenom stupňa 4.^[1]

Dvojčleny druhého stupňa

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. Tri zmienené vzorce:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ prvý vzorec

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$ druhý vzorec

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$ tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz ${\displaystyle (a-b)^{2}}$ v tvare ${\displaystyle (a+(-b))^{2}}$ a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

${\displaystyle (a+(-b))^{2}=a^{2}-2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

${\displaystyle (a+b)^{2}}$ zápis druhej mocniny ako súčinu

${\displaystyle =(a+b)\cdot (a+b)=}$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)

${\displaystyle =a^{2}+ab+ab+b^{2}}$ sčítanie odpovedajúcich členov

${\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}}$ prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

${\displaystyle (a-b)^{2}}$ zápis druhej mocniny ako súčinu

${\displaystyle =(a-b)\cdot (a-b)=}$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

${\displaystyle =a^{2}-ab+ab+b^{2}}$ sčítanie odpovedajúcich členov

${\displaystyle =a^{2}-2ab+b^{2}}$ druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=}$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

${\displaystyle =a^{2}-ab+ab-b^{2}=}$ sčítanie odpovedajúcich členov

${\displaystyle =a^2-<!--\; -\; -->{}^{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---