Charakteristická funkcia je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike jedna z funkcií náhodnej veličiny. Využíva sa (okrem iného) pri charakterizovaní a určovaní vlastností náhodných veličín a pri skúmaní limitného správania sa a limitných viet náhodných veličín.

Charakteristická funkcia úplne určuje rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny. Ak existuje hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny, tak potom je charakteristická funkcia Fourierova transformácia tejto hustoty.

Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny.

Definícia

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná premenná a nech ${\displaystyle F(x)}$ je jej distribučná funkcia. Komplexná funkcia reálnej premennej ${\displaystyle \varphi _{X}(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$, ktorú definujeme nasledujúcim vzťahom:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)\quad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)}$

sa nazýva charakteristická funkcia náhodnej premennej ${\displaystyle X}$.

V uvedenom vzťahu písmeno ${\displaystyle i}$ označuje tzv. imaginárnu jednotku komplexného čísla ${\displaystyle a+ib}$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je množina reálnych čísel, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je množina komplexných čísel a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Pre imaginárnu jednotku uvedenú v definícii platí známy vzťah: ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Vo výraze v zátvorke nachádzajúcom sa na konci vzťahu označuje symbol ${\displaystyle f_{X}(x)}$ hustotu náhodnej veličiny. Posledná rovnosť však platí len v tom prípade, ak existuje hustota náhodnej veličiny (pokiaľ neexistuje, tak samozrejme nemôžeme charakteristickú funkciu pomocou nej vyjadriť).

Ďalej môžeme definovať vzťah pre ${\displaystyle e^{it}}$ nasledovne:

${\displaystyle e^{it}=cos(t)+isin(t)}$

A vďaka tomuto vzťahu môžeme písať:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left=E\left+iE\left=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)\,dF(x)}$

Pokiaľ je uvažovaná náhodná veličina ${\displaystyle X}$ diskrétna, tak platí nasledovné:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k}e^{itx_{k}}P\left=\sum _{k}cos(tx_{k})P\leftX=x_{k}\right+i\sum _{k}sin(tx_{k})P\leftX=x_{k}\right}$

Zovšeobecnenieupraviť | upraviť zdroj

Predchádzajúca definícia sa dá zovšeobecniť aj pre zložitejšie (iné ako jednorozmerné) náhodné veličiny.

• Pokiaľ uvažujeme nasledovný náhodný vektor ${\displaystyle X^{T}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$, tak jeho charakteristická funkcia je definovaná nasledovne:

${\displaystyle \varphi _{X}(t_{1},\cdots ,t_{n})=E\lefte^{i\sum _{i=1}^{n}t_{i}X_{i}}\right=E\lefte^{it^{T}X}\right}$
kde ${\displaystyle t^{T}=(t_{1},\cdots ,t_{n})}$.

• Ak ${\displaystyle X}$ je náhodná matica typu ${\displaystyle k\times p}$, tak pre ${\displaystyle t\in R^{k\times p}}$ potom platí:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\lefte^{i\operatorname {tr} (t^{T}X)}\right}$

• V prípade, že ${\displaystyle X}$ je komplexná náhodná premenná a ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$, tak pre charakteristickú funkciu platí nasledovný vzťah:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\lefte^{i\operatorname {Re} ({\overline {t}}X)}\right}$

• V prípade, že ${\displaystyle X}$ je komplexný náhodný vektor a ${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{k}}$, tak pre jeho charakteristickú funkciu platí zase nasledovný vzťah:

${\displaystyle {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X(t)=E{e}^{i\mathrm{Re}<!--\; \; -->(t^{\ast <!--\; \ast \; -->}}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---