Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel ${\displaystyle {B_{k}},}$ kterou popsal v roce 1631 Johann Faulhaber jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet: ${\displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}}$ „za půl čtvrthodiny”.

Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel.

Definice

V současné době existují v matematice dvě definice Bernoulliho čísel: novější – uvedená níže jako definice 1 a starší – níže citovaná jako definice 2. Pro rozlišení se Bernoulliho čísla podle definice 1 označují ${\displaystyle {B_{k}},}$ a podle definice 2 ${\displaystyle B_{k}^{*}.}$ Čísla ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ tvoří vlastní podmnožinu hodnot ${\displaystyle {B_{k}}.}$

Bernoulliho čísla – definice 1

Bernoulliho čísla ${\displaystyle {B_{k}}}$ jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:^[1]

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\cdot {x^{n}}}{n!}}.}$

Tato řada konverguje pro ${\displaystyle |x|<2\pi .}$

Bernoulliho čísla je možné také definovat rekurentně pomocí vzorce:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0,}$

kde ${\displaystyle B_{0}=1.}$

Bernoulliho čísla s lichými indexy většími než 2 podle této definice jsou rovna 0.

Čísla se sudými indexy většími než 0 jsou střídavě kladná a záporná.

Prvních 21 Bernoulliho čísel ${\displaystyle B_{k}}$ počínaje ${\displaystyle B_{0}}$:

${\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {1}{42}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {5}{66}},0,-{\frac {691}{2730}},0,{\frac {7}{6}},0,-{\frac {3617}{510}},0,{\frac {43867}{798}},0,-{\frac {174611}{330}},\ldots }$

Bernoulliho čísla – definice 2

Bernoulliho čísla ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:

${\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\operatorname {cotg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {B_{1}^{*}\cdot {x^{2}}}{2!}}+{\frac {B_{2}^{*}\cdot {x^{4}}}{4!}}+{\frac {B_{3}^{*}\cdot {x^{6}}}{6!}}+\ldots }$

Prvních několik Bernoulliho čísel ${\displaystyle B_{k}^{*}}$ počínaje ${\displaystyle B_{1}^{*}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{6}},{\frac {1}{30}},{\frac {1}{42}},{\frac {1}{30}},{\frac {5}{66}},{\frac {691}{2730}},{\frac {7}{6}},{\frac {3617}{510}},{\frac {43867}{798}},{\frac {174611}{330}},{\frac {854513}{138}},\ldots }$

Vztah mezi čísly ${\displaystyle B_{n}^{*}}$ a ${\displaystyle B_{n}}$ popisuje vzorec:

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Bernoulliho_čísla
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---