Čínska zvyšková veta alebo čínska veta o zvyškoch je veta v teórii čísel objavená čínskym matematikom Sun-c' ^[1] hovoriaca o riešeniach systémov lineárnych kongruencií.^[1][2] Medzi hlavné aplikácie vety patrí dôkaz bezpečnosti šifrovacieho algoritmu RSA.^[3]

Znenie vety^[1]1">upraviť | upraviť zdroj

Nech ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}}$ sú po dvoch nesúdeliteľné prirodzené čísla väčšie ako 1. Nech ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ sú ľubovoľné celé čísla. Potom existuje riešenie x sústavy kongruencií

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}x&\equiv &a_{1}\ ({\text{mod }}m_{1})\\x&\equiv &a_{2}\ ({\text{mod }}m_{2})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &a_{n}\ ({\text{mod }}m_{n})\end{array}}\right\},}$

pričom všetky takéto riešenia x sú navzájom kongruentné modulo ${\displaystyle M:=m_{1}m_{2}\ldots m_{n}}$.

Dôkaz^[1]upraviť | upraviť zdroj

Existenciaupraviť | upraviť zdroj

Vyriešime najprv špeciálny prípad uvedenej sústavy kongruencií:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i-1})\\x&\equiv &1\ ({\text{mod }}m_{i})\\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i+1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{n})\\\end{array}}\right\}.}$

Nech ${\displaystyle k_{i}=m_{1}m_{2}\ldots m_{i-1}m_{i+1}\ldots m_{n}}$. Čísla ${\displaystyle m_{i}}$ a ${\displaystyle k_{i}}$ sú zrejme nesúdeliteľné, čo znamená, že existujú celé čísla r,s také, že platí

${\displaystyle rk_{i}+sm_{i}=1\!,}$

z čoho vyplývajú kongruencie

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}k_{i})\\rk_{i}&\equiv &1\ ({\text{mod }}m_{i})\end{array}}\right\}.}$

Keďže sú ale všetky čísla ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{i-1},m_{i+1},\ldots ,m_{n}}$ deliteľmi čísla ${\displaystyle k_{i}}$, z uvedenej sústavy dvoch kongruencií vyplýva platnosť sústavy

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccl}rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i-1})\\rk_{i}&\equiv &1\ ({\text{mod }}m_{i})\\rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{i+1})\\\vdots &\vdots &\vdots \\rk_{i}&\equiv &0\ ({\text{mod }}m_{n})\\\end{array}}\right\},}$

čo znamená, že hodnota ${\displaystyle x_{i}:=rk_{i}}$ je riešením uvedeného špeciálneho prípadu systému kongruencií. Z toho už ale triviálnou úvahou vyplýva, že riešenie všeobecného systému kongruencií má tvar

${\displaystyle x:=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n},}$

čo znamená, že existencia riešenia je dokázaná.

Jednoznačnosť modulo ${\displaystyle M}$upraviť | upraviť zdroj

Nech ${\displaystyle x,}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.