Pojem priemer v matematike označuje vypočítanú hodnotu zo všetkých alebo len z určitej časti prvkov množiny, ktorá môže byť tvorená nielen skalárnymi veličinami, ale aj funkciami a pod. Táto matematická metóda má využitie hlavne v štatistike a pravdepodobnosti, teórii množín, geometrii, matematickej analýze ai. Priemer sa zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad písmenom premennej, napr. ${\textstyle {\bar {x}}}$, ${\textstyle {\tilde {p}}}$ a pod. V prípade, že je nutné uviesť aj druh priemeru je zvykom túto informáciu zapísať v ľavom dolnom indexe, napr. ${\textstyle _{\text{ap}}{\bar {x}}}$ pre aritmetický priemer a obdobne, ale nie je to záväzné pravidlo.

Tento článok uvádza stručné definície najbežnejších priemerov používaných v matematike.

Zrejme najčastejšie používaný druh priemeru, ktorý spočíva v podiele súčtu prvkov množiny a počtom prvkov v množine. V anglofónnom prostredí často označovaný ako AM (arithmetic mean).

${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}}{n}}}$

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {5+12+15+28+30}{5}}={\frac {90}{5}}=18}$.

Geometrický priemer je definovaný pre každé ${\textstyle x_{i}>0}$. Označovaný aj ako GM (geometric mean).

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=(x_{1}\times x_{2}\times \cdots \times x_{n-1}\times x_{n})^{\frac {1}{n}}}$

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\displaystyle {\bar {x}}=(5\times 12\times 15\times 28\times 30)^{\frac {1}{5}}=756000^{\frac {1}{5}}\approx 14.986}$

Tento priemer pracuje s prevrátenými hodnotami a značí sa aj ako HM (harmonic mean).

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{1}}}\right)^{-1}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n-1}}}+{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {5}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{30}}}}\approx 11.931}$.

Tri predchádzajúce priemery sú súhrnne nazývané pytagorejské pretože sa s nimi už zaoberali antickí pytagorejci a ich nasledovatelia.

Vzťahy medzi týmito tromi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

${\displaystyle \max \geq {\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}\geq \min }$.

Často označovaný ako RMS (root mean square) alebo QM (quadratic mean).

${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2})}}}$.

Príklad pre množinu ${\textstyle M=\{5,12,15,28,30\}}$:

${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\sqrt{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.