Magický štvorec je štvorcová tabuľka typu ${\displaystyle n\times n}$, ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu ${\displaystyle 1}$ až ${\displaystyle n^{2}}$ a súčet je rovný ${\displaystyle {\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}$.

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva magická konštanta.^[1]

Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo n okrem čísla 2. Počet riešení s rastúcim n prudko narastá. Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre n=3 existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre n=4 ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na (1.7745 ± 0.0016) × 10^{19 [2][3][4]}

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú prvočísla. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil Rudolf Ondrejka:

Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l.

Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:^[5]

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:

2^a, 2^b a 2^c, ich násobok je 2^a+b+c

Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným číslam. Príklady:

Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo n okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla n, pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

V 19. storočí, Édouard Lucas vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde a, b, c sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami:

0 < a < b < c − a , b ≠ 2a

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.