Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná premenná, nech ${\displaystyle x>0}$, a nech ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle n}$ sú prirodzené čísla. Hovoríme, že ${\displaystyle X}$ má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle n}$ stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

${\displaystyle f_{m,n}(x)={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}({\frac {m}{n}})^{\frac {m}{2}}x^{{\frac {m}{2}}-1}(1+{\frac {m}{n}}x)^{-{\frac {m+n}{2}}}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}}$

kde označenie ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x}$

Označenie:

• ${\displaystyle \operatorname {X} \sim F(m,n)}$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch ${\displaystyle \chi ^{2}}$-kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné ${\displaystyle Y}$ a ${\displaystyle Z}$, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že ${\displaystyle Y}$ má ${\displaystyle \chi ^{2}}$-kvadrát rozdelenie s ${\displaystyle m}$ stupňami voľnosti a ${\displaystyle Z}$ nech má ${\displaystyle \chi ^{2}}$-kvadrát rozdelenie s ${\displaystyle n}$ stupňami voľnosti, teda: ${\displaystyle \operatorname {Y} \sim \chi ^{2}(m)}$ a ${\displaystyle \operatorname {Z} \sim \chi ^{2}(n)}$. Potom náhodná premenná ${\displaystyle F}$ definovaná vzťahom:

${\displaystyle F={\frac {\frac {Y}{m}}{\frac {Z}{n}}}}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle n}$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber ${\displaystyle (X_{1},...,X_{m})}$ z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie ${\displaystyle N(\mu _{1};\sigma _{1}^{2})}$, ďalej majme náhodný výber ${\displaystyle (Y_{1},...,Y_{n})}$ z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie ${\displaystyle N(\mu _{2};\sigma _{2}^{2})}$. Nech ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ a ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ sú výberové rozptyly a nech pre ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ a ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ platí nasledovné:

• ${\displaystyle m\geq 2}$
• ${\displaystyle n\geq 2}$
• ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}}$

Potom náhodná premenná ${\displaystyle F}$ definovaná vzťahom:

${\displaystyle F={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s ${\displaystyle m-1}$ a ${\displaystyle n-1}$ stupňami voľnosti (alebo: $$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.