Cayleyho-Hamiltonova veta (pomenovaná podľa Arthura Cayleyho a Williama Rowana Hamiltona) je v lineárnej algebre veta, ktorá hovorí, že každá štvorcová matica je koreňom svojho charakteristického polynómu,^[1] teda platí:

${\displaystyle \chi _{A}\left(A\right)=0.}$

Pomocné pojmy

Definujme pojem mocniny štvorcovej matice ${\displaystyle A\,\!}$ (${\displaystyle A\in M_{n,n}}$) nasledovne:

${\displaystyle A^{0}=I_{n}\,\!}$, kde ${\displaystyle I_{n}\,\!}$ je jednotková matica z ${\displaystyle M_{n,n}\,\!}$

Indukčne definujme: ${\displaystyle A^{n+1}=A^{n}\cdot A}$

Charakteristický polynóm ${\displaystyle \chi _{A}(t)\,\!}$ je definovaný pre ľubovoľnú ${\displaystyle A\in M_{n,n}}$ nasledovne: ${\displaystyle \chi _{A}(t)=\det(tI_{n}-A)\,\!}$, kde ${\displaystyle \lambda }$ je jeho koreňom práve vtedy, ak je vlastnou hodnotou ${\displaystyle A\,\!}$.

Formulácia vety

Nech ${\displaystyle A\,\!}$ je štvorcová matica a jej charakteristický polynóm ${\displaystyle \chi _{A}(t)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}t^{i}}$, pre vhodné koeficienty ${\displaystyle a_{i}}$. Potom ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}A^{i}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$

Neformálne: ${\displaystyle \chi _{A}(A)=0\,\!}$.

Využitie

Najdôležitejším dôsledkom Cayleyho-Hamiltonovej vety je, že charakteristický polynóm je násobkom minimálneho polynómu danej štvorcovej matice ${\displaystyle A\,\!}$.

Referencie

Externé odkazy

• dôkaz z PlanetMath (angl.)

Literatúra

• ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria. Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : Marenčin PT, 2011. Dostupné online. ISBN 978-80-8114-111-9.