Bellova nerovnosť je nerovnosť, ktorú spĺňajú určité spinové korelácie v lokálne realistických teóriách. Je dielom írskeho fyzika J. S. Bella. Má tvar:

${\displaystyle n(\alpha _{+}\beta _{+})\leq n(\alpha _{+}\gamma _{+})+n(\beta _{+}\gamma _{+})}$.

Pozrime sa bližšie na jej odvodenie. Nech ${\displaystyle N(+++)}$ je počet častíc v našom teste s hodnotami ${\displaystyle \alpha _{+}}$, ${\displaystyle \beta _{+}}$, ${\displaystyle \gamma _{+}}$ (a obdobne pre ďalšie kombinácie orientácií). Nech ${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{+})}$ označuje počet častíc s ${\displaystyle \alpha _{+}}$, ${\displaystyle \beta _{+}}$ a s neurčenou hodnotou ${\displaystyle \gamma }$ (a podobne). Potom platí

${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{-})=N(+-+)+N(+--),N(\alpha _{+}\gamma _{-})=N(++-)+N(+--),N(\beta _{-}\gamma _{+})=N(+-+)+N(--+)}$.

Pretože všetky ${\displaystyle N}$ sú nezáporné (ide o počty prípadov), musí platiť

${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{-})\leq N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}$.

Ak si uvedomíme, že pokiaľ má jedna z častíc ${\displaystyle \alpha _{+}}$, musí mať druhá častica z páru ${\displaystyle \alpha _{-}}$ atď. Veličiny ${\displaystyle n}$ sú úmerné súčtom dvojíc ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle {\frac {n(\alpha _{+}\beta _{+})}{N(\alpha _{+}\beta _{-})+N(\alpha _{-}\beta _{+})}}={\frac {n(\alpha _{+}\gamma _{+})}{N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\alpha _{-}\gamma _{+})}}={\frac {n(\beta _{+}\gamma _{+})}{N(\beta _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}}}$.

Potom zo zmienenej nerovnosti

${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{-})\leq N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}$

a z podobnej nerovnosti so zamenenými symbolmi + a – vyplýva napokon vzťah pre Bellovu nerovnosť:

${\displaystyle n(\alpha _{+}\beta _{+})\leq n(\alpha _{+}\gamma _{+})+n(\beta _{+}\gamma _{+})}$.