Prvočíslo - Biblioteka.sk

Upozornenie: Prezeranie týchto stránok je určené len pre návštevníkov nad 18 rokov!
Zásady ochrany osobných údajov.
Používaním tohto webu súhlasíte s uchovávaním cookies, ktoré slúžia na poskytovanie služieb, nastavenie reklám a analýzu návštevnosti. OK, súhlasím


Panta Rhei Doprava Zadarmo
...
...


A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Prvočíslo

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je väčšie ako 1 a ktorého jedinými deliteľmi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú zložené čísla.

Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá teória čísel.

Začiatok radu prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Rozloženie prvočísel nie väčších než 400.

Vlastnosti

  • Ak p je prvočíslo a p delí súčin čísel a a b, potom p delí a alebo p delí b.
  • Ak p je prvočíslo a a je ľubovoľné celé číslo, potom je ap − a deliteľné p. (Malá Fermatova veta).
  • Ak n je kladné celé číslo, existuje prvočíslo p také, že platí n < p ≤ 2n. (Bertrandov postulát)
  • Pre každé prvočíslo p > 2 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 4n ± 1.
  • Pre každé prvočíslo p > 3 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 6n ± 1.
  • Ak p je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/p má v desiatkovej číselnej sústave nekonečný desatinný rozvoj.
  • Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné delitele sa nazýva faktorizácia. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3.
  • Ak p je prvočíslo a G je grupa s pn prvkami, potom G obsahuje prvok rádu p.
  • Ak G je konečná grupa a pn je najvyššia mocnina prvočísla p, ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G podgrupu rádu pn.
  • Okruh Z/nZ je teleso, práve vtedy, keď n je prvočíslo. Inak povedané: n je prvočíslo, práve vtedy keď φ(n) = n − 1.
  • Prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz sporom: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich p1, p2, …, pn. Potom číslo x = p1 · p2 ··· pn + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení ľubovoľným z nich dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo x je buď prvočíslo, alebo je deliteľné nejakým iným prvočíslom, ktoré nebolo medzi p1...pn. To znamená, že množina prvočísel p1...pn nebola úplná, čo je spor s predpokladom.
  • Množina prvočísel je spočítateľná.
  • Množina všetkých prvočísel spolu s reláciou deliteľnosti je príkladom spočítateľného protireťazca.
  • Množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovoľnej dĺžky. Toto tvrdenie predstavovalo mnoho rokov odolávajúcu hypotézu. V roku 2004 ju pozitívne zodpovedali Ben Green a Terence Tao.[1]

Mersennove prvočísla

Istou skupinou prvočísel sú takzvané Mersennove prvočísla. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2p-1, kde p je tiež prvočíslo. Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3=22-1 alebo 7=23-1. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených pomerne málo, presne 51. Zatiaľ posledné bolo objavené 21. decembra 2018 a skladá sa z 24 862 048 číslic. Toto číslo je zároveň najvyšším známym prvočíslom. Je výsledkom 282 589 933-1.[2]

Hľadanie prvočísel

Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne algoritmy, napr. Eratostenovo sito.

Využitie

Veľký praktický význam majú prvočísla v kryptológii.

Referencie

  1. Prvočísla a zložené čísla . https://www.galeje.sk, . Dostupné online.
  2. Largest Known Prime Number: 282,589,933-1 . mersenne.org, 21.12.2018, rev. 2018-12-21, . Dostupné online. (angličtina)

Externé obrazy

Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Zdroj: Wikipedia.org - čítajte viac o Prvočíslo





Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

Your browser doesn’t support the object tag.

www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk