Kvadratická forma nad poľom reálnych čísel je v matematike ľubovoľný výraz tvaru

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

kde ${\displaystyle a_{ij}\in \mathbb {R} }$ sú reálne koeficienty a ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n}}$ sú premenné, pre ktoré platí komutatívny zákon ${\displaystyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}}$. Podobne možno definovať kvadratickú formu nad ľubovoľným poľom, vo fyzike sú obzvlášť dôležité kvadratické formy s komplexnými koeficientami ${\displaystyle a_{ij}}$.

Kvadratické formy majú širokú škálu aplikácií. Využívajú sa napríklad v teórii čísel, riemannovskej geometrii, matematickej analýze, algebraickej topológii, Lieovej teórii, ale aj vo fyzike, či chémii, kde zvyknú opisovať energiu systému.

História

V histórii sa pravdepodobne najviac skúmali kvadratické formy s celočíselnými koeficientami. Za matematické výsledky využívajúce kvadratické formy možno z dnešného pohľadu považovať napr. aj problém hľadania pytagorejských trojíc, či Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov.

Ako počiatok moderného výskumu kvadratických foriem možno považovať rok 1801, keď nemecký matematik Carl Friedrich Gauss publikoval knihu o teórii čísel, Disquisitiones Arithmeticae, veľká časť ktorej sa zaoberala binárnymi kvadratickými formami s celočíselnými koeficientami. Odvtedy bol pojem viackrát zovšeobecnený a boli objavené súvislosti napr. s kvadratickými poľami, či modulárnymi grupami.

Rozdelenie kvadratických foriem

Asi najdôležitejšie rozdelenie kvadratických foriem je ich rozdelenie podľa poľa, do ktorého patria koeficienty pri jednotlivých jej členoch. Na základe toho rozlišujeme napr.:

• Reálne kvadratické formy
• Komplexné kvadratické formy
• Celočíselné kvadratické formy
• Kvadratické formy nad ľubovoľným poľom ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$.

Ďalej možno kvadratické formy rozdeliť podľa počtu premenných na:

• Unárne kvadratické formy s jednou premennou, ${\displaystyle q(x)=ax^{2}}$
• Binárne kvadratické formy s dvoma premennými, ${\displaystyle q(x)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$
• Ternárne kvadratické formy s troma premennými, ${\displaystyle q(x)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz}$
• ${\displaystyle n}$-árne kvadratické formy s ${\displaystyle n}$ premennými,

${\displaystyle q(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$.

Maticový zápis

Každú kvadratickú formu

${\displaystyle q(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

možno zapísať v tvare súčinu vektora premenných, nejakej matice A a transponovaného vektora premenných, teda

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\cdot \left({\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right)\cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}}$.

Tvrdenie možno overiť priamo, vynásobením týchto matíc. Teda, napríklad kvadratickú formu

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}}$

možno písať v tvare

${\displaystyle q(x)=(x_{1},x_{2})\cdot \left({\begin{array}{cc}1&4\\0&2\end{array}}\right)\cdot (x_{1},x_{2})^{T}}$.

Ak však prepíšeme tú istú kvadratickú formu ako napr.

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}+2x_{2}^{2}}$,

dostávame maticové vyjadrenie

Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---