Kolmogorovov-Smirnovov test (alebo skrátene K-S test) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike neparametrický test. Jeho testovacia štatistika sleduje najväčšiu odchýlku medzi teoretickou distribučnou funkciou (ktorú označujeme ${\displaystyle F(x)}$) a empirickou distribučnou funkciou (ktorá sa označuje ${\displaystyle F_{n}(x)}$), respektíve medzi dvoma empirickými distribučnými funkciami. Empirickú distribučnú funkciu získame z náhodného výberu.

Týmto testom testujeme, či jednorozmerná náhodná veličina má predpokladané, čiže teoretické rozdelenie. V takomto prípade hovoríme o jednovýberovom teste. Rovnako môžeme testovať, či dve jednorozmerné náhodné veličiny pochádzajú z rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia (dvojvýberový test). Test nevie určiť, z akého rozdelenia náhodné veličiny pochádzajú, poskytne iba informáciu, či pochádzajú z rovnakého alebo odlišného rozdelenia pravdepodobnosti.

Kolmogorovov-Smirnovov test sa používa v prípade, že náhodný výber ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$ pochádza zo spojitého rozdelenia s distribučnou funkciou ${\displaystyle F(x)}$ (dôležitý predpoklad). V prípade, že ${\displaystyle n}$ (rozsah výberu) je nepostačujúce, teda je malé, používa sa tento test namiesto chí-kvadrát testu.

Test je pomenovaný podľa dvoch významných ruských matematikov Kolmogorova a Smirnova.

Testovacia štatistika a hypotéza

Empirická distribučná funkcia ${\displaystyle F_{n}(x)}$ pre ${\displaystyle n}$ nezávislých, rovnako rozdelených náhodných veličín ${\displaystyle X_{i}}$, kde ${\displaystyle i=1,\cdots ,n}$, je definovaná nasledovne:

${\displaystyle F_{n}(x)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}I_{X_{i}\leq x}}$

kde ${\displaystyle I_{X_{i}\leq x}}$ je charakteristická (indikátorová) funkcia, ktorá nadobúda hodnotu 1, ak ${\displaystyle X_{i}\leq x}$ a hodnotu 0 v inom prípade.

Kolmogorovova-Smirnovova testovacia štatistika má potom nasledovný tvar:

${\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|}$

kde symbol sup označuje suprémum.

Kolmogorovove rozdelenie

Náhodná premenná ${\displaystyle K}$, ktorá je definovaná nasledovným vzťahom:

${\displaystyle K=\sup _{t\in }|B(t)|,}$

má Kolmogorovove rozdelenie, kde ${\displaystyle B(t)}$ je tzv. Brownov most. Distribučná funkcia premennej ${\displaystyle K}$ je nasledovná:^[1]

${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq x)=1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}e^{-2k^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-(2k-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.}$

Jednovýberový Kolmogorovov–Smirnovov test

Testovaná hypotéza je v tomto prípade nasledovná:

${\displaystyle H_{0}}$: Náhodná veličina má predpokladané (teoretické) rozdelenie.

${\displaystyle H_{1}}$: Náhodná veličina nemá predpokladané (teoretické) rozdelenie.

Náhodné premenné definované vzťahom ${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}}$ konvergujú podľa distribučnej funkcie k známemu asymptotickému rozdeleniu:

${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}\sup _{t}|B(F(t))|}$

kde ${\displaystyle B(t)}$ označuje opäť tzv. Brownom most.

Kolmogorovov–Smirnovov test pri rozhodovaní o tom, ktorú hypotézu zamietne, využíva kritické hodnoty Kolmogorovovho rozdelenia. Test zamieta nulovú hypotézu na hladine významnosti ${\displaystyle \alpha }$, ak:

${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}>K_{\alpha }}$

kde ${\displaystyle K_{\alpha }}$ je také, že platí:

${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq K_{\alpha })=1-\alpha }$

Dvojvýberový Kolmogorovov–Smirnovov test

Testovaná hypotéza je v tomto prípade nasledovná:

${\displaystyle H_{0}}$: Dve jednorozmerné náhodné premenné pochádzajú z rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia.

${\displaystyle H_{1}}$: Dve jednorozmerné náhodné premenné nepochádzajú z rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia.

Dvojvýberový Kolmogorovov–Smirnovov test teda overuje situáciu, či dve jednorozmerné náhodné premenné pochádzajú z rovnakého pravdepodobnostného rozdelenia. V takomto prípade vyzerá Kolmogorovova-Smornovova testovacia štatistika nasledovne:

${\displaystyle D_{n_{1},n_{2}}=\sup _{x}|F_{1,n_{1}}(x)-F_{2,n_{2}}(x)|}$

kde ${\displaystyle F_{1,n_{1}}(x)}$ a ${\displaystyle F_{2,n_{2}}(x)}$ sú empirické distribučné funkcie prvého a druhého náhodného výberu. Test zamieta nulovú hypotézu na hladine významnosti ${\displaystyle \alpha }$, ak:

${\displaystyle \sqrt{\frac{n_1{n}_2}{n_1+n_2}}{D}_{n_1,n_{}}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---