Geometrické rozdelenie (iné názvy: geometrické pravdepodobnostné rozdelenie, geometrické rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad negatívneho binomického rozdelenia, pokiaľ v tomto rozdelení položíme parameter ${\displaystyle k}$ rovný 1.

Uvažujme postupnosť nezávislých pokusov. Pri každom z týchto pokusov máme rovnakú pravdepodobnosť, že nastane nami sledovaná náhodná udalosť A, a túto pravdepodobnosť označme ${\displaystyle p}$. Tieto pokusy potom opakujeme do vtedy, kým po prvýkrát nenastane udalosť A. Teda, ak máme ${\displaystyle k}$ pokusov, tak pri ${\displaystyle (k-1)}$ pokusoch udalosť A nenastala, nastala až pri k-tom pokuse.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná ${\displaystyle X}$ má geometrické rozdelenie s parametrom ${\displaystyle p}$, kde ${\displaystyle p\in (0,1)}$, ak nadobúda hodnoty ${\displaystyle k=0,1,2,...}$ s pravdepodobnosťami ${\displaystyle p_{0},p_{1},p_{2},...}$, pričom platí nasledovný vzťah:

${\displaystyle p_{k}=P(X=k)=p(1-p)^{k}}$

Označujeme:

• ${\displaystyle X\sim Ge(p)}$
• ${\displaystyle X\sim Geo(p)}$
• ${\displaystyle X\sim Geom(p)}$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1-p}{p}}}$

• Rozptyl:

${\displaystyle \operatorname {D} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}$

• Koeficient šikmosti:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

${\displaystyle m(t)={\frac {p}{1-e^{t}(1-p)}}}$

Zdroje

• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Základné rozdelenia diskrétnych náhodných veličín a ich stredné hodnoty, s. 150.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.