Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\ }$

automaticky znamená

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.}$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom ${\displaystyle g_{ij}}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

${\displaystyle g^{ac}g_{cb}:=\delta _{b}^{a},}$

kde ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak ${\displaystyle a=b}$ a rovný 0, ak ${\displaystyle a\neq b}$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

${\displaystyle \sharp _{g}\,:\quad \alpha _{a}\mapsto \alpha ^{a}:=g^{ab}\alpha _{b}}$

${\displaystyle \flat _{b}\,:\quad v^{a}\mapsto v_{a}:=g_{ab}v^{b}}$

Veličinám ${\displaystyle v_{a},v^{a}}$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora ${\displaystyle v}$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore ${\displaystyle g_{ab}=\delta _{ab}}$, čísla ${\displaystyle v_{a}}$ a ${\displaystyle v^{a}}$ sú rovnaké, pre každé ${\displaystyle v}$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Zápis vektorov a kovektorov

V každom vektorovom priestore ${\displaystyle V}$si možno zvoliť bázu. Ak ${\displaystyle \dim V=n}$, tak báza má ${\displaystyle n}$ bázových prvkov ${\displaystyle e_{i}}$ a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent ${\displaystyle v^{i}}$. Zapisuje sa teda

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}=v^{i}e_{i}=\left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{array}}\right)}$

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor ${\displaystyle V^{\ast }}$ lineárnych zobrazení ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza ${\displaystyle e^{i}}$. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

${\displaystyle \langle e^{i},e_{j}\rangle :=e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}.}$

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{i}=\alpha _{i}e^{i}=\left(\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\cdots \,\alpha _{n}\right)}$

Bežné operácie

Operácie s vektormi

Skalárny súčin dvoch vektorov ${\displaystyle u,v}$možno zapísať ako

${\displaystyle h(u,v)=h_{ij}u^{i}v^{j}}$,

kde ${\displaystyle h_{ij}}$ je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene