Prvočíslo - Biblioteka.sk

Upozornenie: Prezeranie týchto stránok je určené len pre návštevníkov nad 18 rokov!
Zásady ochrany osobných údajov.
Používaním tohto webu súhlasíte s uchovávaním cookies, ktoré slúžia na poskytovanie služieb, nastavenie reklám a analýzu návštevnosti. OK, súhlasím


Panta Rhei Doprava Zadarmo
...
...


A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Prvočíslo
 ...

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je beze zbytku dělitelné jen dvěma děliteli: jedničkou a samo sebou. Jednička není prvočíslo, neboť nemá dva různé dělitele. Přirozená čísla větší než jedna, která nejsou prvočísly, se nazývají složená čísla. Prvním prvočíslem je číslo 2, které je jediným sudým prvočíslem.

Formální definice

Číslo je prvočíslem právě když platí: nebo ekvivalentně .

Příklad

Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení třemi zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Říkáme, že je těmito čísly nedělitelné. Pouze při dělení 1 a 13 je zbytek 0 (dělitelné). Proto je 13 prvočíslo.

Číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Není proto prvočíslem, ale složeným číslem.

Prvočíselnost jedničky

Jak říká základní věta aritmetiky, každé přirozené číslo je možno rozložit na právě jeden prvočíselný součin (např. 12 = 2×2×3). Pokud by byla jednička zahrnuta do množiny prvočísel, bylo by takových rozkladů vždy nekonečně mnoho (12 = 2×2×3 = 1×2×2×3 = 1×1×2×2×3 = …). Proto se jednička za prvočíslo nepovažuje, přestože podmínku dělitelnosti pouze sebou samým a jedničkou splňuje. V rámci obecnějších teorií jsou prvočísla takzvanými prvočiniteli, zatímco jednička patří mezi takzvané jednotky.

Vlastnosti

  • Pokud je prvočíslo a dělí součin čísel a , pak dělí nebo dělí .
  • Každé složené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) se nazývá faktorizace. Např. .
  • Okruh (viz množina zbytkových tříd) je těleso, právě když je prvočíslo. Jinak vyjádřeno: je prvočíslo, právě když , kde je počet invertovatelných prvků v .
  • Pokud je prvočíslo a je celé číslo, pak je dělitelné . (Malá Fermatova věta)
  • Pokud je kladné celé číslo větší než jedna, existuje prvočíslo tak, že . (Bertrandův postulát)
  • Číslo větší než jedna je prvočíslo, právě když . (Wilsonova věta)
  • Pokud je konečná grupa a je nejvyšší mocnina prvočísla , která dělí řád grupy , má grupa podgrupu řádu .
  • Pokud je prvočíslo a je grupa s prvky, obsahuje prvek řádu .
  • Prvočísel je nekonečně mnoho. (Viz níže.)
  • Suma převrácených hodnot prvočísel diverguje.
  • Hustota prvočísel je asymptoticky , kde je přirozený logaritmus n. Přesněji, , kde prvočíselná funkce vyjadřuje počet prvočísel menších než .
  • Největší dnes (prosinec 2018) známé prvočíslo je 282 589 933 − 1, má 24 862 048 dekadických cifer.[1] Je to 51. známé Mersennovo prvočíslo, označované jako M82589933. Bylo nalezeno 7. prosince 2018.

Zkoumáním vlastností prvočísel se zabývá teorie čísel. Zobecněním prvočísel jsou v abstraktní algebře prvočinitelé.

Výskyt prvočísel

Prvočísel je nekonečně mnoho. (Důkaz sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je . Potom číslo není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem. Tento důkaz předvedl Eukleidés.)

Podle Bertrandova postulátu lze nalézt vždy alespoň jedno prvočíslo mezi čísly  a pro . Ve skutečnosti jich však existuje pro vyšší daleko více. (I z této věty lze dovodit, že prvočísel je nekonečně mnoho.)

Naproti tomu lze nalézt libovolně dlouhé intervaly přirozených čísel, kde se nevyskytuje žádné prvočíslo. Například interval obsahuje








Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

Your browser doesn’t support the object tag.

www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk