Problém dvoch telies je úloha klasickej mechaniky, v ktorej je cieľom skúmať pohyb dvoch telies, ktoré navzájom interagujú. Príkladom môže byť obeh planét okolo Slnka alebo rozptyl elektrónu na atómovom jadre.

Pri probléme dvoch telies je možné rozdeliť pohyb tejto sústavy na pohyb ich spoločného ťažiska a vzájomný pohyb telies. V mnohých prípadoch je možné nájsť aj rovnice týchto pohybov, teda vyriešiť problém analyticky. Naproti tomu problém troch telies nie je možné riešiť podobným spôsobom a analytické výsledky sa dajú získať iba v niektorých špeciálnych prípadoch.

Pohyb, ktorý je výsledkom problému dvoch telies sa odohráva v jednej rovine. Je to tak kvôli tomu, že sily pôsobiace medzi telesami sú navzájom opačne orientované a obe ležia v tejto rovine. V sústave preto nie je žiadna sila, ktorá by telesá vyviedla von z roviny ich pohybu. Túto rovinu pohybu môžeme nájsť tak, že nájdeme moment hybnosti sústavy – rovina, v ktorej sa bude celý pohyb odohrávať je naň kolmá. (Dá sa ukázať aj to, že moment hybnosti sústavy sa v čase nemení, zachováva sa.)

Správanie systému

Obeh telies v prípade, že hmotnosť jedného z nich je omnoho väčšia než hmotnosť druhého telesa.

Obeh dvoch telies rovnakej hmotnosti okolo ťažiska sústavy po kruhovej dráhe.

Pri vzájomnom pôsobení telies sú dôležitými parametrami hmotnosti oboch telies ${\displaystyle m_{1}}$ a ${\displaystyle m_{2}}$. Pohyb sa totiž odohráva okolo ich spoločného ťažiska (pozri nižšie). Preto ak je jedna hmotnosť omnoho väčšia než druhá, ťažisko sústavy je prakticky totožné s polohou ťažšieho telesa a to sa potom takmer nehýbe – vnímame obeh ľahkého telesa okolo centrálneho telesa sústavy (pozri obrázok vpravo). Toto je prípad slnečnej sústavy, kde hmotnosť Slnka prevyšuje hmotnosť všetkých planét 745-násobne. Zjednodušenie planét obiehajúcich nehybné Slnko je preto pomerne presné. V prípade sústavy Zem-Mesiac je pomer hmotností 1:81. Výsledkom je ich obeh okolo spoločného ťažiska, ktoré sa nachádza pod povrchom Zeme v hĺbke približne 3000 kilometrov. Príkladom obehu dvoch telies podobnej hmotnosti je sústava Pluto-Charón (pomer hmotností približne 1:7) a mnoho dvojhviezd.

Ak je príťažlivá sila medzi telesami nepriamo úmerná štvorcu ich vzdialenosti (ako pri gravitačnom priťahovaní, resp. Coulombovom zákone), pohyb telies sa odohráva po eliptickej dráhe (v špeciálnom prípade kruhovej), parabolickej dráhe alebo hyperbolickej dráhe.

Na základe pozorovaní telies v slnečnej sústave boli formulované niektoré vlastnosti ich pohybov, ktoré sú zhrnuté v Keplerových zákonoch.

Riešenie úlohy

Polohy telies v čase t označíme ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}(t)}$ a ${\displaystyle {\vec {x}}_{2}(t)}$. Cieľom je nájsť tieto dve funkcie za predpokladu, že poznáme začiatočné (teda v čase ${\displaystyle t=0}$) polohy a rýchlosti telies ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}(0)}$, ${\displaystyle {\vec {x}}_{2}(0)}$, ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}(0)}$, ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}(0)}$, ich hmotnosti ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, ako aj sily pôsobiace na obe telesá ako funkcie ich polôh ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})}$, ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})}$.

Pritom podľa tretieho Newtonovho zákona (akcia-reakcia) z toho, že uvažujeme iba vzájomné pôsobenie telies vyplýva ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})=-{\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})}$. Pomocou druhého Newtonovho zákona (zákona sily) môžeme teraz zapísať pohybové rovnice telies v tvare

${\displaystyle m_{1}{\vec {a}}_{1}={\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}),}$

${\displaystyle m_{2}{\vec {a}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}).}$

Tu ${\displaystyle {\vec {a}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\vec {a}}_{2}}$ sú zrýchlenia prvého a druhého telesa.

Sčítanie týchto uvedených dvoch pohybových rovníc umožní skúmať pohyb ťažiska sústavy, zatiaľ čo ich odčítanie vedie k rovnici pre vzájomný pohyb telies.

Pohyb ťažiska sústavy

Ak sčítame predchádzajúce pohybové rovnice telies, dostaneme

${\displaystyle m_{1}{\vec {a_{1}}}+m_{2}{\vec {a}}_{2}=0.}$

Zrýchlenia telies sú pritom druhými deriváciami polohy podľa času, teda

${\displaystyle {\vec {a}}_{1}={\ddot {\vec {x}}}_{1},\quad {\vec {a}}_{2}={\ddot {\vec {x}}}_{2}.}$

Ak teraz zapíšeme súradnice ťažiska sústavy

${\displaystyle {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}}_T=\frac{m_1}{m_1+m_2}{\stackrel{}{x}}_{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---