Lagrangeova funkcia (iné názvy: Lagrangeov výraz, lagrangeián, lagrangián, lagranžián , značka L) dynamického systému predstavuje východiskový bod lagrangeovej formulácie klasickej mechaniky. Je pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea.

V klasickej mechanike je lagrangeián definovaný ako zovšeobecnená kinetická energia ${\displaystyle T}$ systému mínus jeho zovšeobecnená potenciálna energia ${\displaystyle V}$^[1]:

${\displaystyle L=T-V.\quad }$

Priamou substitúciou lagrangeiánu do Eulerovej-Lagrangeovej rovnice získame systém parciálnych diferenciálnych rovníc predstavujúcich pohybové rovnice študovaného systému.

Lagrangeova formulácia

Dôležitosť

Lagrangeova formulácia mechaniky je dôležitá nielen pre jej širokú aplikáciu, ale aj pre jej úlohu v pokroku hlbšieho chápania fyziky. Hoci sa Lagrange snažil len opísať klasickú mechaniku, akčný princíp, ktorý sa používa na odvodenie Lagrangeovej rovnice sa teraz uznáva za aplikovateľný na kvantovú mechaniku.

Fyzická akcia a kvantovomechanická fáza sú prepojené prostredníctvom Planckovej konštanty, a princíp stacionárnej akcie možno pochopiť v pojmoch konštruktívnej interferencie vlnových funkcií.

Rovnaký princíp a Lagrangeov formalizmus sú úzko prepojené na Noetherovej teorému, ktorá prepája fyzickú konzervovanú kvantitu na kontinuálne symetrie fyzického systému.

Lagrangeovská mechanika a Noetherovef teoréma spolu dávajú prirodzený formalizmus pre prvú kvantizáciu prostredníctvom zahrnutia komutátorov medzi určitými pojmami lagrangeovských rovníc pre fyzikálny systém.

Výhody nad inými metódami

• Formulácia nie je napojená na žiadnu sústavu súradníc – namiesto toho môžu byť akékoľvek vhodné premenné ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$ použité na opísanie systému; tieto premenné sa nazývajú "zovšeobecnené súradnice" a môže ísť o akúkoľvek nezávislú premennú systému (napríklad sila magnetického poľa magnetického poľa na konkrétnej pozícii; uhol ťahu; pozícia častice v priestore; alebo stupeň excitácie konkrétneho eigenmódu v komplexnom systéme). Vďaka tomu je možné ľahko zakomponovať obmedzenia do teórie definovaním súradníc, ktoré popisujú iba stavy systému, ktorý vyhovuje obmedzeniam.
• Ak je lagrangeián invariantný na symetrii, potom výsledné rovnice pohybu sú taktiež invariantné na tejto symetrii. Toto je veľmi nápomocné pri ukazovaní, že teórie sú v súlade buď so špeciálnou relativitou alebo všeobecnou relativitou.
• Rovnice odvodené od lagrangeiánu budú takmer určite jednoznačné a konzistentné, na rozdiel od rovníc, ktoré sú výsledkom viacerých formulácií.

"Cyklické súradnice" a konzervačné zákony

Dôležitou vlastnosťou lagrangeiánu je, že konzervačné zákony z nich možno ľahko odčítať. Napríklad, ak lagrangeián ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ závisí od časovej derivácie ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ zovšeobecnenej súradnice, ale nie od ${\displaystyle q_{i}}$ samotnej, potom zovšeobecnená hybnosť,

${\displaystyle p_{i}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$,

je konzervovanou kvantitou. toto je špeciálny prípad Noetherovej teorémy, pozri nižšie. Takéto koordinanty sa nazývajú "cyklické".

Napríklad konzerváciu zovšeobecnenej hybnosti

${\displaystyle p_{2}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{2}}}}$,

možno pozorovať, ak lagrangeián systému má formu

${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{1},q_{3},q_{4},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)\,.}$

Rovnako, ak čas t sa neobjavuje v ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, potom nasleduje konzervovanie Hamiltonianu. Toto je konzervovanie energie až kým potenciálna energia nedosiahne rýchlosť ako v elektrodynamike. Viac detailov je možné nájsť v akejkoľvek učebnici týkajúcej sa teoretickej mechaniky.

Vysvetlenie

Rovnice pohybu sa získavajú prostredníctvom princípu akcie, zapísaného ako:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0\,.}$

kde akcia, ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ je funkciou závislých premenných ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$ spolu s ich derivátmi samotným s

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left\varphi _{i},{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial s}}\right=\int {{\mathcal {L}}\left\varphi _{i}s,{\frac {\partial \varphi _{i}s}{\partial s^{\alpha }}},s^{\alpha }\right\,\mathrm {d} ^{n}s}}$

a kde ${\displaystyle s=\{s^{\alpha }\}\!}$ popisuje súbor n nezávislých premenných systému, indexovaného ako ${\displaystyle \alpha =1,2,3,\ldots ,n.}$

Rovnice pohybu získané z tejto funkcionálnej derivácie sú Euler–Lagrangeove rovnice tohto atómu. Napríklad, v klasickej mechanike častíc, jedinou nezávislou premennou je čas t. A tak Euler-Lagrangeove rovnice sú

${\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}_i}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---