Homomorfizmus grúp alebo morfizmus grúp alebo homomorfné zobrazenie grúp ${\displaystyle (G,*)}$ a ${\displaystyle (H,\circ )}$ je zobrazenie ${\displaystyle f:G\longrightarrow H}$, pri ktorom pre všetky prvky ${\displaystyle x,y\in G}$ platí ${\displaystyle f(x*y)=f(x)\circ f(y)}$, pričom ${\displaystyle *}$ je operácia grupy ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle \circ }$ operácia grupy ${\displaystyle H}$ (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu).

Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homomorfizmu ${\displaystyle f}$:

• ${\displaystyle f(1_{G})=1_{H}}$ (daný homomorfizmus zobrazí neutrálny prvok grupy ${\displaystyle G}$ na neutrálny prvok grupy ${\displaystyle H}$),
• ${\displaystyle f(x^{-1})=(f(x))^{-1}}$ (daný homomorfizmus zobrazí inverzie prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)^[1]

Intuícia

Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia ${\displaystyle f:G\longrightarrow H}$ je homomorfizmus ak pre každé ${\displaystyle x,y,z\in G}$ také, že ${\displaystyle x*y=z}$ máme ${\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(z)}$

Inými slovami, grupa ${\displaystyle H}$ má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako ${\displaystyle G}$ a homomorfizmus ${\displaystyle h}$ ju zachováva.

Typy homomorfizmov grúp

• Monomorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je injektívny.
• Epimorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je surjektívny.
• Izomorfizmus je homomorfizmus, ktorý je bijektívny (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle H}$ existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme ${\displaystyle G\cong H}$. Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov.

Obraz a jadro

Nech ${\displaystyle f:(G,*)\rightarrow (H,\circ )}$ je homomorfizmus grúp.

Potom množina ${\displaystyle f^{-1}\left(\left\{1_{H}\right\}\right)}$ sa nazýva jadro homomorfizmu ${\displaystyle f}$. zvyčajne sa označuje ${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)}$ (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne ${\displaystyle \operatorname {Ker} (f)=\left\{g\in G|f(g)=1_{H}\right\}}$.

Obrazom homomorfizmu ${\displaystyle f}$ nazveme množinu ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=f(G)=\{f(g)|g\in G\}}$ (označenie ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ pochádza z anglického slova image).

Jadro a obraz homomorfizmu môžu byť interpretované ako vyjadrenie, do akej miery je daný homomofizmus blízko izomorfizmu. Prvá veta o izomorfizme hovorí, že obraz homomorfizmu grúp ${\displaystyle f(G)}$ je izomorfný faktorovej grupe ${\displaystyle G/\operatorname {Ker} (f)}$.

Referencie

Zdroje

• Július Korbaš: Lineárna algebra a geometria 1. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2003 (definícia 1.5.6)