Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.
Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:
${\displaystyle {(x+y)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{n-k}y^{k}}$
kde ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}}$ je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom: ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+\dots +{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+\dots +{n \choose n}y^{n},}$

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

${\displaystyle A_{k}={\begin{pmatrix}n\\{k-1}\end{pmatrix}}a^{n-k+1}b^{k-1}}$

Dôkaz

Použijeme matematickú indukciu.

• Keď n = 0, rovnosť platí:

${\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}$

• Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre ${\displaystyle n=m+1}$:

${\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}$

z indukčného predpokladu:

${\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}$

násobené číslami ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

vyjmutie ${\displaystyle k=0}$ zo sumy:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

substitúciou ${\displaystyle j=k-1}$:

${\displaystyle =a^{m+1}+\underset{k=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---